广西大学 2024年数学分析第13题
📝 题目
13、由闭域套定理证明： $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的有界无限点集 $\displaystyle \mathbf{E}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中至少有一个聚点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造闭矩形覆盖有界无限点集E
由于点集E在$\mathbb{R}^2$中有界，存在一个闭矩形（或闭正方形）$D_0$使得$E \subseteq D_0$。具体地，可取$D_0 = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2]$，其中$a_1, b_1, a_2, b_2$为适当实数，保证E中所有点均落在$D_0$内部或边界上。
公式：E \subseteq D_0 = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2]
提示：注意闭矩形必须包含E的所有点，且边界包含在内，以保证后续闭集性质。
步骤 2/5
目标：通过平分法构造闭矩形套
将$D_0$沿两条中线平分成四个全等的小闭矩形，每个小矩形边长是原边长的一半。由于E是无限集，由鸽笼原理，至少有一个小闭矩形包含E中的无限多个点，记该小闭矩形为$D_1$。重复此过程：对$D_k$再平分成四个更小的闭矩形，选取包含E中无限多个点的一个记为$D_{k+1}$。如此得到一列闭矩形$D_0 \supseteq D_1 \supseteq D_2 \supseteq \cdots$，且$D_k$的边长是$D_0$的$\frac{1}{2^k}$倍，直径趋于0。
公式：\text{diam}(D_k) = \frac{\text{diam}(D_0)}{2^k} \to 0 \quad (k \to \infty)
提示：每次平分时，确保选取的闭矩形包含E的无限个点，这是后续证明聚点的关键。
步骤 3/5
目标：应用闭域套定理得到唯一交点P
在$\mathbb{R}^2$中，闭矩形是闭集，且上述闭矩形序列是递缩的，直径趋于0。由闭域套定理（闭矩形套定理），存在唯一的一点$P \in \bigcap_{k=0}^{\infty} D_k$。
公式：\exists! P \in \bigcap_{k=0}^{\infty} D_k
提示：闭域套定理要求每个闭集非空且直径趋于0，这里显然满足。
步骤 4/5
目标：证明P是E的聚点
对任意$\varepsilon > 0$，由于$\text{diam}(D_k) \to 0$，存在正整数$N$使得$\text{diam}(D_N) < \varepsilon$。而$D_N$包含E的无限多个点，因此$D_N$中除了可能的P本身（若$P \in E$）外，还有无限多个E中不同于P的点。这些点都在P的$\varepsilon$-邻域内且不等于P，故P是E的聚点。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists N: \text{diam}(D_N) < \varepsilon \Rightarrow (U(P, \varepsilon) \setminus \{P\}) \cap E \neq \emptyset
提示：注意聚点定义：去心邻域内至少有一个E中的点，这里由无限性保证。
步骤 5/5
目标：得出结论
由上述步骤，我们证明了$\mathbb{R}^2$中的有界无限点集E至少有一个聚点P，即二维波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理成立。
公式：\text{有界无限点集} E \subset \mathbb{R}^2 \Rightarrow E \text{至少有一个聚点}
提示：该结论可推广到$\mathbb{R}^n$，证明方法类似。
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