广西大学 2024年数学分析第14题
📝 题目
14、设 $S$ 是包围 $V$ 的光滑曲面，证明：$V$ 的体积 $\displaystyle \Delta V$ 为：
$$
\Delta V=\frac{1}{3} \iint_{S}(x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma) \mathrm{d} S
$$
其中 $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是曲面 $\displaystyle \mathbf{S}$ 的外法线的方向余弦。
【注】个别题目不全，欢迎留言补充，或者投稿完善！
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标
设空间区域 $V$ 的边界为光滑封闭曲面 $S$，曲面上任意一点的外法线方向余弦为 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$，即外法线单位向量 $\mathbf{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$。需要证明 $V$ 的体积 $\Delta V$ 满足：
$$\Delta V = \frac{1}{3} \iint_S (x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma) \, dS$$
公式：$$\mathbf{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$$
提示：注意外法线方向余弦的定义，确保方向正确。
步骤 2/5
目标：将曲面积分与散度定理联系起来
高斯散度定理：对于向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，有
$$\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$$
其中 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma$。
令 $\mathbf{F} = (x, y, z)$，则
$$\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma$$
这正是被积函数。
公式：$$\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$$
提示：选择合适的向量场是关键，这里选择 $\mathbf{F} = (x, y, z)$ 是因为其散度为常数。
步骤 3/5
目标：计算散度
对于 $\mathbf{F} = (x, y, z)$，计算散度：
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3$$
公式：$$\nabla \cdot (x, y, z) = 3$$
提示：散度计算是基础，注意偏导数的正确性。
步骤 4/5
目标：应用高斯散度定理
将散度代入散度定理：
$$\iint_S (x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma) \, dS = \iiint_V 3 \, dV = 3 \iiint_V dV$$
而 $\iiint_V dV$ 正是体积 $\Delta V$，因此
$$\iint_S (x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma) \, dS = 3 \Delta V$$
公式：$$\iint_S (x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma) \, dS = 3 \Delta V$$
提示：注意三重积分的结果是体积，不要混淆符号。
步骤 5/5
目标：得到体积公式
将上式两边同时除以 3，即得：
$$\Delta V = \frac{1}{3} \iint_S (x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma) \, dS$$
这正是要证明的结论。
公式：$$\Delta V = \frac{1}{3} \iint_S (x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma) \, dS$$
提示：最终公式中系数 $\frac{1}{3}$ 来源于散度值 3 的倒数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。