广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \cos \left(t^{3}\right) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别极限类型
观察极限形式：当\(x \to 0\)时，分子\(\int_0^x \cos(t^3)\,dt\)的积分上限趋于0，积分值趋于0，分母\(x\)也趋于0，因此该极限为\(\frac{0}{0}\)型未定式。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_0^x \cos(t^3)\,dt
提示：注意积分上限为变量时，积分值随上限趋于0而趋于0。
步骤 2/4
目标：构造函数并转化为导数定义
令\(F(x) = \int_0^x \cos(t^3)\,dt\)，则\(F(0)=0\)，原极限可写为\(\lim_{x \to 0} \frac{F(x)-F(0)}{x-0}\)，这正是函数\(F(x)\)在\(x=0\)处的导数定义。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x} = F'(0)
提示：将积分上限函数的极限转化为导数问题，是处理此类极限的常用技巧。
步骤 3/4
目标：利用微积分基本定理求导
由微积分基本定理，若\(F(x)=\int_0^x \cos(t^3)\,dt\)，则\(F'(x)=\cos(x^3)\)。代入\(x=0\)得\(F'(0)=\cos(0)=1\)。
公式：F'(x) = \cos(x^3), \quad F'(0) = \cos(0) = 1
提示：注意被积函数中的变量是\(t\)，对上限\(x\)求导时，直接将\(t\)替换为\(x\)即可。
步骤 4/4
目标：得出极限值
由导数定义，\(\lim_{x \to 0} \frac{F(x)}{x} = F'(0) = 1\)，因此原极限值为1。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_0^x \cos(t^3)\,dt = 1
提示：也可用洛必达法则验证：分子分母分别求导，分子导数为\(\cos(x^3)\)，分母导数为1，极限为\(\cos0=1\)。
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