📝 广西大学 2025年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \cos \left(t^{3}\right) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ．

2、函数 $\displaystyle f(x)=\frac{3 x^{3}+4}{x^{2}-2 x}$ 的渐近线为 $\_\_\_\_$ ．

3、幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{2 n-1}}{(2 n-1)!}$ 的收敛区域为 $\_\_\_\_$ ．

4、函数 $u(x, y, z)=x y z$ 在点 $(5,1,2)$ 沿点 $(5,1,2)$ 到点 $(9,4,14)$ 的方向的方向导数为 $\_\_\_\_$。

5、设 $L$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与 $x=y$ 相交的圆周，则第一型曲线积分

$$
\int_{L} \sqrt{2 y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s=
$$

$\_\_\_\_$

6、求抛物线 $y=x^{2}$ 与 $y=8-x^{2}$ 所围成区域的面积．

7、设 $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，其中 $z=f(x, y)$ 是由方程 $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 x y z$所确定的隐函数，求 $u_{x}^{\prime}$ 及 $u_{x x}^{\prime \prime}$ ．

8、把函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{4},-\pi \leq x<0 \\ \frac{\pi}{4}, 0 \leq x<\pi\end{array}\right.$ 展开成傅里叶级数，并由它导出

$$
\frac{\sqrt{3}}{6} \pi=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+\cdots .
$$

9、求空间一点 $P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 到平面 $A x+B y+C z+D=0$ 的最短距离． 10．计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, ~ \Omega$ 是由锥面 $\displaystyle z^{2}=\frac{h^{2}}{R^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 与平面 $z=h$ 所围成的闭区域，

11、计算 $J=\iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+x z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是曲面 $z=5-x^{2}-y^{2}$ 上 $z \geq 1$ 的部分，并取外侧．

12． $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=a,(a>0)$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a_{n}}=1$ ．

13、证明：$f(x)=x^{2}$ 在 $[a, b]$ 上一致连续，在 $(-\infty,+\infty)$ 上不一致连续．

14、设曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x=2(\sin t-t \cos t), \\ y=2(\cos t+t \sin t),\end{array}\right.$ 证明：原点到曲线上任意一点处的法线的距离为常数．

15、根据有限覆盖定理证明：实数轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点．

16、用函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right), x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 说明偏导数连续并不是函数可微的必要条件．

17、设 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos (2 x y) \mathrm{d} x$ ，求 $I(y)$ 。

四、综合题。（第 16 题 12 分，第 17 题 13 分）