广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2、函数 $\displaystyle f(x)=\frac{3 x^{3}+4}{x^{2}-2 x}$ 的渐近线为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定定义域和可能的垂直渐近线
令分母为零：$x^2 - 2x = x(x-2) = 0$，解得 $x=0$ 和 $x=2$。检查这两点是否为无穷间断点：当 $x \to 0$ 时，分子 $3x^3+4 \to 4$，分母 $\to 0$，故 $\lim_{x\to 0} f(x) = \infty$；当 $x \to 2$ 时，分子 $3\cdot 8+4=28$，分母 $\to 0$，故 $\lim_{x\to 2} f(x) = \infty$。因此 $x=0$ 和 $x=2$ 均为垂直渐近线。
公式：$x^2-2x=0 \Rightarrow x=0,\, x=2$
提示：垂直渐近线出现在分母为零且分子不为零的点，注意检查极限是否为无穷大。
步骤 2/5
目标：检查水平渐近线
考虑 $x \to \pm\infty$ 时 $f(x)$ 的极限。分子最高次项为 $3x^3$，分母最高次项为 $x^2$，次数差为1，故 $\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = \infty$，不存在有限极限，因此没有水平渐近线。
公式：$\lim_{x\to \infty} \frac{3x^3+4}{x^2-2x} = \infty$
提示：当分子次数比分母次数高时，无水平渐近线；若次数相等则看系数比；若分子次数低则水平渐近线为 $y=0$。
步骤 3/5
目标：求斜渐近线的斜率 k
由于分子次数比分母次数高1，存在斜渐近线 $y=kx+b$。计算斜率：$k = \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{3x^3+4}{x(x^2-2x)} = \lim_{x\to \infty} \frac{3x^3+4}{x^3-2x^2}$。分子分母同除以 $x^3$：$\lim_{x\to \infty} \frac{3+\frac{4}{x^3}}{1-\frac{2}{x}} = 3$。故 $k=3$。
公式：$k = \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x} = 3$
提示：斜渐近线存在的条件是 $\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}$ 存在且非零。
步骤 4/5
目标：求斜渐近线的截距 b
计算 $b = \lim_{x\to \infty} (f(x) - 3x)$。先通分：$f(x)-3x = \frac{3x^3+4}{x^2-2x} - 3x = \frac{3x^3+4 - 3x(x^2-2x)}{x^2-2x} = \frac{3x^3+4 - (3x^3-6x^2)}{x^2-2x} = \frac{6x^2+4}{x^2-2x}$。当 $x\to\infty$，分子分母同除以 $x^2$：$\lim_{x\to\infty} \frac{6+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{2}{x}} = 6$。故 $b=6$，斜渐近线为 $y=3x+6$。
公式：$b = \lim_{x\to \infty} \left( \frac{3x^3+4}{x^2-2x} - 3x \right) = 6$
提示：计算 $b$ 时需将 $f(x)-kx$ 通分后化简，再取极限，注意分子分母同除最高次项。
步骤 5/5
目标：汇总所有渐近线
综合以上结果，函数 $f(x)=\frac{3x^3+4}{x^2-2x}$ 的渐近线为：垂直渐近线 $x=0$ 和 $x=2$，斜渐近线 $y=3x+6$。
公式：$x=0,\quad x=2,\quad y=3x+6$
提示：检查是否有遗漏：当 $x\to -\infty$ 时，斜渐近线相同，因为极限过程一致。
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