广西大学 2025年数学分析第0题

当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，令 $r = \sqrt{x^2+y^2}$，则 $f(x,y) = r^2 \sin(1/r)$。当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，$r \to 0$，有 $|f(x,y)-0| = |r^2 \sin(1/r)| \le r^2 \to 0$，因此 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 = f(0,0)$，函数在原点连续。

由定义：$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h^2 \sin(1/|h|)}{h} = \lim_{h\to 0} h \sin(1/|h|) = 0$，因为 $|\sin(1/|h|)| \le 1$。同理 $f_y(0,0)=0$。

当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，记 $r = \sqrt{x^2+y^2}$，则 $f(x,y)=r^2\sin(1/r)$。对 $x$ 求偏导：$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \sin(1/r) + r^2 \cos(1/r) \cdot (-1/r^2) \cdot \frac{x}{r} = 2x \sin(1/r) - \frac{x}{r} \cos(1/r)$。类似地，$f_y(x,y) = 2y \sin(1/r) - \frac{y}{r} \cos(1/r)$。

考虑路径 $x=t, y=0$，则 $r=|t|$，$f_x(t,0)=2t\sin(1/|t|) - \frac{t}{|t|}\cos(1/|t|)$。当 $t\to 0$ 时，第一项 $2t\sin(1/|t|)\to 0$，但第二项 $\frac{t}{|t|}\cos(1/|t|)$ 中 $\frac{t}{|t|}$ 为 $\pm 1$，而 $\cos(1/|t|)$ 振荡无极限，故 $f_x$ 在 $(0,0)$ 处极限不存在，因此不连续。同理 $f_y$ 也不连续。

可微性条件：$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$。代入 $f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，得 $\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{(h^2+k^2)\sin(1/\sqrt{h^2+k^2})}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{r\to 0} r \sin(1/r) = 0$，因此函数在原点可微。

函数 $f(x,y)$ 在原点可微，但其偏导数在原点不连续，因此偏导数连续不是可微的必要条件。