广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{2 n-1}}{(2 n-1)!}$ 的收敛区域为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别级数形式
观察幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{2 n-1}}{(2 n-1)!}$，它只包含 $(x-2)$ 的奇数次幂，分母为奇数的阶乘。这类似于正弦或双曲正弦的泰勒展开。
公式：$\sinh t = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{2n-1}}{(2n-1)!}$
提示：注意没有正负号交替，因此对应双曲正弦而非正弦。
步骤 2/5
目标：变量代换
令 $t = x-2$，则原级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{2n-1}}{(2n-1)!}$。
公式：$t = x-2$
提示：代换后级数形式更简洁，便于分析。
步骤 3/5
目标：识别函数展开
根据双曲正弦的泰勒展开公式，$\sinh t = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{2n-1}}{(2n-1)!}$，因此原级数就是 $\sinh(x-2)$ 的泰勒级数。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{2n-1}}{(2n-1)!} = \sinh t$
提示：双曲正弦函数在整个实数轴上解析，其泰勒级数处处收敛。
步骤 4/5
目标：确定收敛半径
由于 $\sinh t$ 是整函数（在整个复平面解析），其泰勒级数的收敛半径为 $+\infty$，即对任意实数 $t$ 级数都收敛。
公式：$R = +\infty$
提示：整函数的泰勒级数收敛半径无穷大，这是关键结论。
步骤 5/5
目标：还原变量并写出收敛区域
由 $t = x-2$ 且 $t$ 可取任意实数，故 $x$ 也可取任意实数。因此原级数的收敛区域为全体实数 $(-\infty, +\infty)$。
公式：收敛区域：$(-\infty, +\infty)$
提示：注意不要误以为只有部分区间收敛，因为函数是整函数。
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