广西大学 2025年数学分析第0题

曲面方程为 $z = 5 - x^2 - y^2$，条件 $z \ge 1$ 即 $x^2 + y^2 \le 4$，因此曲面是旋转抛物面在 $z=1$ 以上的部分，在 $xy$ 平面上的投影是半径为 $2$ 的圆盘。取外侧方向，即相对于该曲面所围空间区域的外侧。由于曲面不封闭，需补上底面 $z=1$ 的圆盘构成封闭曲面。

设原曲面为 $S_1: z = 5 - x^2 - y^2,\ x^2+y^2 \le 4$，方向取上侧（相对于封闭区域的外侧）。补底面 $S_2: z = 1,\ x^2+y^2 \le 4$，方向取下侧（因为封闭区域的外侧在底部向下）。记 $S$ 和 $S_2$ 围成的区域为 $\Omega$。

高斯公式：$\iint_{S \cup S_2} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$。这里 $P = y(x-z),\ Q = x^2,\ R = y^2 + xz$。计算偏导：$\frac{\partial P}{\partial x} = y,\ \frac{\partial Q}{\partial y} = 0,\ \frac{\partial R}{\partial z} = x$，散度为 $x+y$。

区域 $\Omega$：底部 $z=1$，顶部 $z=5-x^2-y^2$，投影为圆盘 $x^2+y^2 \le 4$。三重积分 $\iiint_{\Omega} (x+y)\,dV$。由于区域关于 $x$ 和 $y$ 对称，且 $x$ 和 $y$ 是奇函数，在对称区域上积分为零。具体地，先对 $z$ 积分：$\iiint_{\Omega} x\,dV = \iint_{x^2+y^2 \le 4} x \cdot ((5-x^2-y^2)-1)\,dx\,dy = 0$，同理 $y$ 的积分为 $0$。因此三重积分结果为 $0$，即 $\iint_{S \cup S_2} = 0$，故 $\iint_S = -\iint_{S_2}$。

$S_2: z=1$，方向取下侧。在 $S_2$ 上，$z$ 为常数，$dz=0$，所以含 $dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 的项均为 $0$。只剩下 $(y^2+xz)\,dx\,dy$。由于取下侧，法向量 $z$ 分量为 $-1$，因此 $dx\,dy$ 取负的投影面积元，即 $\iint_{S_2} (y^2+xz)\,dx\,dy = \iint_{x^2+y^2 \le 4} (y^2 + x\cdot 1) \cdot (-1)\,dx\,dy = -\iint_{x^2+y^2 \le 4} (y^2 + x)\,dx\,dy$。

用极坐标：$x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$，面积元 $r\,dr\,d\theta$，积分区域 $0 \le r \le 2,\ 0 \le \theta \le 2\pi$。先算 $\iint y^2\,dx\,dy = \int_0^{2\pi}\int_0^2 (r^2\sin^2\theta)\, r\,dr\,d\theta = \left(\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta\right)\left(\int_0^2 r^3\,dr\right)$。$\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \pi$，$\int_0^2 r^3\,dr = 4$，所以这部分为 $4\pi$。再算 $\iint x\,dx\,dy$，由对称性，$x$ 是奇函数，在圆域上积分为 $0$。因此 $\iint_{S_2} = - (4\pi + 0) = -4\pi$。

由 $\iint_S = -\iint_{S_2} = -(-4\pi) = 4\pi$。因此原曲面积分结果为 $4\pi$。