广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5、设 $L$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与 $x=y$ 相交的圆周，则第一型曲线积分
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\int_{L} \sqrt{2 y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s=
$$
$\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定曲线L的方程并化简
已知球面方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$，平面方程为 $x = y$。将 $x = y$ 代入球面方程，得到 $y^2 + y^2 + z^2 = a^2$，即 $2y^2 + z^2 = a^2$。这表示交线在 $x=y$ 平面上的投影是一个椭圆，但由于平面过球心，该交线实际上是半径为 $a$ 的大圆。
公式：$2y^2 + z^2 = a^2$
提示：注意：平面过球心，因此交线是半径为 $a$ 的圆，而不是椭圆。
步骤 2/5
目标：建立曲线L的参数方程
在平面 $x=y$ 上，取参数 $ heta$，令 $x = \frac{a}{\sqrt{2}} \cos\theta$，$y = \frac{a}{\sqrt{2}} \cos\theta$，$z = a \sin\theta$。验证：$x^2+y^2+z^2 = \frac{a^2}{2}\cos^2\theta + \frac{a^2}{2}\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta = a^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=a^2$，且 $x=y$ 成立。$ heta$ 的取值范围为 $0$ 到 $2\pi$。
公式：$\begin{cases} x = \frac{a}{\sqrt{2}} \cos\theta \\ y = \frac{a}{\sqrt{2}} \cos\theta \\ z = a \sin\theta \end{cases}$
提示：参数化时需确保满足球面方程和平面方程，且参数范围覆盖整个圆周。
步骤 3/5
目标：计算弧长微元 $ds$
对参数 $ heta$ 求导：$x'(\theta) = -\frac{a}{\sqrt{2}}\sin\theta$，$y'(\theta) = -\frac{a}{\sqrt{2}}\sin\theta$，$z'(\theta) = a\cos\theta$。计算 $(x')^2+(y')^2+(z')^2 = \frac{a^2}{2}\sin^2\theta + \frac{a^2}{2}\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta = a^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=a^2$。因此 $ds = \sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}\,d\theta = a\,d\theta$。
公式：$ds = a\,d\theta$
提示：弧长微元公式 $ds = \sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}\,d\theta$，注意不要遗漏根号。
步骤 4/5
目标：将被积函数用参数表示并化简
被积函数为 $\sqrt{2y^2+z^2}$。代入 $y = \frac{a}{\sqrt{2}}\cos\theta$，$z = a\sin\theta$，得 $2y^2 = 2 \cdot \frac{a^2}{2}\cos^2\theta = a^2\cos^2\theta$，于是 $2y^2+z^2 = a^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta = a^2$。因此 $\sqrt{2y^2+z^2} = a$。
公式：$\sqrt{2y^2+z^2} = a$
提示：利用参数方程化简时，注意三角恒等式 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 的应用。
步骤 5/5
目标：计算第一型曲线积分
将 $\sqrt{2y^2+z^2}=a$ 和 $ds=a\,d\theta$ 代入积分：$\int_L \sqrt{2y^2+z^2}\,ds = \int_0^{2\pi} a \cdot a\,d\theta = a^2 \int_0^{2\pi} d\theta = a^2 \cdot 2\pi = 2\pi a^2$。
公式：$\int_L \sqrt{2y^2+z^2}\,ds = 2\pi a^2$
提示：积分时注意常数因子不要遗漏，且积分限为 $0$ 到 $2\pi$。
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