广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
12． $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=a,(a>0)$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a_{n}}=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题意，明确已知条件和待证结论
已知数列极限 $\lim_{n \to +\infty} a_n = a$，且 $a > 0$。要证明 $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = 1$。直观上，当 $n$ 很大时，$a_n$ 接近正数 $a$，开 $n$ 次方趋近于 $1$，但需严格证明。
公式：$\lim_{n \to +\infty} a_n = a > 0$
提示：注意 $a>0$ 的条件，保证后续取对数有意义。
步骤 2/5
目标：利用极限定义得到 $a_n$ 的有界性
由极限定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1$，当 $n > N_1$ 时，$|a_n - a| < \varepsilon$。取 $\varepsilon = \frac{a}{2}$，则当 $n > N_1$ 时，$\frac{a}{2} < a_n < \frac{3a}{2}$。因此存在 $N$，当 $n > N$ 时，$a_n$ 被夹在两个正数之间，即 $0 < \frac{a}{2} < a_n < \frac{3a}{2}$。
公式：$\frac{a}{2} < a_n < \frac{3a}{2}$（当 $n$ 充分大时）
提示：取 $\varepsilon = \frac{a}{2}$ 是为了保证下界为正，避免 $a_n$ 可能接近 $0$ 的情况。
步骤 3/5
目标：取对数并估计其极限
考虑 $\ln \sqrt[n]{a_n} = \frac{\ln a_n}{n}$。由于当 $n$ 充分大时，$a_n$ 有正下界和上界，$\ln a_n$ 有界。设存在常数 $M > 0$ 使得 $|\ln a_n| \le M$（例如取 $M = \max\{|\ln(a/2)|, |\ln(3a/2)|\}$），则 $\left| \frac{\ln a_n}{n} \right| \le \frac{M}{n}$。由夹逼准则，$\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln a_n}{n} = 0$。
公式：$\left| \frac{\ln a_n}{n} \right| \le \frac{M}{n} \to 0$
提示：有界性来源于 $a_n$ 被夹在正数之间，$\ln a_n$ 不会趋于无穷。
步骤 4/5
目标：利用指数函数的连续性还原极限
因为指数函数 $e^x$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln a_n}{n} = 0$，所以 $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty} e^{\frac{\ln a_n}{n}} = e^0 = 1$。
公式：$\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = e^{\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln a_n}{n}} = e^0 = 1$
提示：这里用到了复合函数极限运算法则，需确保内层极限存在且外层函数连续。
步骤 5/5
目标：补充严格的 $\varepsilon$-$N$ 证明（可选）
对任意 $\varepsilon > 0$，要 $|\sqrt[n]{a_n} - 1| < \varepsilon$，等价于 $1-\varepsilon < \sqrt[n]{a_n} < 1+\varepsilon$。取对数得 $\frac{\ln(1-\varepsilon)}{n} < \frac{\ln a_n}{n} < \frac{\ln(1+\varepsilon)}{n}$。由于 $\ln a_n$ 有界，当 $n$ 充分大时，$\frac{\ln a_n}{n}$ 的绝对值小于任意给定正数，故不等式成立。因此极限为 $1$。
公式：$|\sqrt[n]{a_n} - 1| < \varepsilon \iff \frac{\ln(1-\varepsilon)}{n} < \frac{\ln a_n}{n} < \frac{\ln(1+\varepsilon)}{n}$
提示：注意 $\ln(1-\varepsilon)$ 为负，但不等式方向正确，因为 $n>0$。
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