广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
17、设 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos (2 x y) \mathrm{d} x$ ，求 $I(y)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别积分对称性
被积函数 $e^{-x^2}\cos(2xy)$ 关于 $x$ 是偶函数，因为 $e^{-x^2}$ 和 $\cos(2xy)$ 均为偶函数。因此，积分区间 $[0,+\infty)$ 可以扩展为 $(-\infty,+\infty)$ 的一半：
\[
I(y) = \int_0^{+\infty} e^{-x^2}\cos(2xy)\,dx = \frac12 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\cos(2xy)\,dx.
\]
公式：偶函数性质：$\int_0^{+\infty} f(x)\,dx = \frac12 \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx$，其中 $f(x)$ 为偶函数。
提示：注意检查被积函数是否确实为偶函数：$e^{-x^2}$ 和 $\cos(2xy)$ 均满足 $f(-x)=f(x)$，乘积仍为偶函数。
步骤 2/5
目标：引用已知高斯型积分公式
已知经典积分结果：
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\cos(2xy)\,dx = \sqrt{\pi}\,e^{-y^2}.
\]
该公式可通过将 $\cos(2xy)$ 视为 $e^{i2xy}$ 的实部，并利用高斯积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2+ i2xy}\,dx = \sqrt{\pi}\,e^{-y^2}$ 得到。
公式：$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\cos(2xy)\,dx = \sqrt{\pi}\,e^{-y^2}$
提示：此公式是傅里叶变换中的标准结果，可直接使用，无需重复推导。
步骤 3/5
目标：代入得到 I(y) 表达式
将已知结果代入第一步的等式：
\[
I(y) = \frac12 \cdot \sqrt{\pi}\,e^{-y^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-y^2}.
\]
公式：$I(y) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-y^2}$
提示：注意系数 $\frac12$ 不要遗漏。
步骤 4/5
目标：验证特例 y=0
当 $y=0$ 时，原积分变为 $\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\,dx$，这是标准的高斯积分，其值为 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$。而我们的结果给出 $\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{0} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$，两者一致，验证了结果的正确性。
公式：$\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
提示：特例验证是检查含参积分结果是否正确的常用方法。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
因此，所求积分为：
\[
I(y) = \boxed{\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-y^{2}}}.
\]
公式：最终结果
提示：答案应简洁明了，注意指数部分为 $e^{-y^2}$，而非 $e^{-y}$ 或其他形式。
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