广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4、函数 $u(x, y, z)=x y z$ 在点 $(5,1,2)$ 沿点 $(5,1,2)$ 到点 $(9,4,14)$ 的方向的方向导数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确函数和给定点
函数为 $u(x, y, z) = xyz$，给定点为 $P_0 = (5, 1, 2)$，方向从 $P_0$ 到 $P_1 = (9, 4, 14)$。
提示：注意区分点的坐标，方向是从起点指向终点。
步骤 2/4
目标：求方向向量并单位化
方向向量 $\vec{v} = (9-5, 4-1, 14-2) = (4, 3, 12)$。模长 $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16+9+144} = \sqrt{169} = 13$。单位方向向量 $\vec{l} = \left(\frac{4}{13}, \frac{3}{13}, \frac{12}{13}\right)$。
公式：$\vec{l} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$
提示：单位化时注意模长计算，避免算术错误。
步骤 3/4
目标：计算梯度向量
梯度 $\nabla u = \left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right) = (yz, xz, xy)$。在点 $(5,1,2)$ 处：$\frac{\partial u}{\partial x}=1\cdot2=2$，$\frac{\partial u}{\partial y}=5\cdot2=10$，$\frac{\partial u}{\partial z}=5\cdot1=5$，故 $\nabla u(5,1,2) = (2,10,5)$。
公式：$\nabla u = \left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)$
提示：偏导计算时注意将其他变量视为常数。
步骤 4/4
目标：计算方向导数
方向导数 $D_{\vec{l}} u = \nabla u \cdot \vec{l} = (2,10,5) \cdot \left(\frac{4}{13}, \frac{3}{13}, \frac{12}{13}\right) = 2\cdot\frac{4}{13} + 10\cdot\frac{3}{13} + 5\cdot\frac{12}{13} = \frac{8}{13} + \frac{30}{13} + \frac{60}{13} = \frac{98}{13}$。
公式：$D_{\vec{l}} u = \nabla u \cdot \vec{l}$
提示：点积计算时注意分数相加，分母相同直接加分子。
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