广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
8、把函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{4},-\pi \leq x<0 \\ \frac{\pi}{4}, 0 \leq x<\pi\end{array}\right.$ 展开成傅里叶级数，并由它导出
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\frac{\sqrt{3}}{6} \pi=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+\cdots .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确函数定义与奇偶性
给定函数 $f(x)=\begin{cases} -\dfrac{\pi}{4}, & -\pi \le x < 0 \\[1em] \dfrac{\pi}{4}, & 0 \le x < \pi \end{cases}$，并默认周期为 $2\pi$。由于 $f(-x) = -f(x)$，函数为奇函数。
公式：$f(-x) = -f(x)$
提示：奇函数展开为傅里叶级数时只有正弦项，余弦项系数为零，可简化计算。
步骤 2/6
目标：计算傅里叶系数 $b_n$
对于奇函数，$b_n = \dfrac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin(nx) \, dx$。在 $(0,\pi)$ 上 $f(x)=\dfrac{\pi}{4}$，故 $b_n = \dfrac{2}{\pi} \cdot \dfrac{\pi}{4} \int_0^\pi \sin(nx) \, dx = \dfrac{1}{2} \int_0^\pi \sin(nx) \, dx$。计算积分得 $\int_0^\pi \sin(nx) \, dx = \dfrac{1-(-1)^n}{n}$，因此 $b_n = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1-(-1)^n}{n}$。
公式：$b_n = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1-(-1)^n}{n}$
提示：注意 $n$ 为偶数时 $b_n=0$，只需考虑奇数 $n=2k-1$。
步骤 3/6
目标：写出傅里叶级数展开式
当 $n=2k-1$ 时，$b_{2k-1} = \dfrac{1}{2k-1}$。因此 $f(x) = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\sin((2k-1)x)}{2k-1}$，即 $f(x) = \sin x + \dfrac{\sin 3x}{3} + \dfrac{\sin 5x}{5} + \dfrac{\sin 7x}{7} + \cdots$。
公式：$f(x) = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\sin((2k-1)x)}{2k-1}$
提示：在间断点 $x=0,\pm\pi$ 处级数收敛到左右极限的平均值 $0$，与函数值一致。
步骤 4/6
目标：代入特定 $x$ 值 $x = \dfrac{\pi}{3}$
由于 $\dfrac{\pi}{3} \in (0,\pi)$，$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\pi}{4}$。代入傅里叶级数：$\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{1}{3}\sin\pi + \dfrac{1}{5}\sin\dfrac{5\pi}{3} + \dfrac{1}{7}\sin\dfrac{7\pi}{3} + \dfrac{1}{9}\sin 3\pi + \cdots$。
公式：$\dfrac{\pi}{4} = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\sin((2k-1)\pi/3)}{2k-1}$
提示：注意 $\sin(3\pi)=0$，所有分母为3的倍数的项均为零，只需考虑不被3整除的奇数项。
步骤 5/6
目标：计算正弦值并化简
计算各正弦值：$\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\dfrac{5\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\dfrac{7\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\dfrac{11\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，依此类推。代入得 $\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(1 - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{13} - \dfrac{1}{17} + \cdots\right)$。
公式：$\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(1 - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{13} - \dfrac{1}{17} + \cdots\right)$
提示：注意符号规律：分母模6余1时正弦为正，余5时正弦为负。
步骤 6/6
目标：导出目标级数等式
两边同时乘以 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ 得 $\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}} = 1 - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{13} - \dfrac{1}{17} + \cdots$。由于 $\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\pi$，即得 $\dfrac{\sqrt{3}}{6}\pi = 1 - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{13} - \dfrac{1}{17} + \cdots$。
公式：$\dfrac{\sqrt{3}}{6}\pi = 1 - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{13} - \dfrac{1}{17} + \cdots$
提示：验证 $\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}\pi}{6}$ 可通过有理化分母得到。
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