广西大学 2025年数学分析第0题

要证明可导，需考察极限 \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin h}{h} - 1}{h}. \] 先计算分子： \[ \frac{\sin h}{h} - 1 = \frac{\sin h - h}{h}. \] 于是差商为 \[ \frac{\sin h - h}{h^2}. \] 利用泰勒展开 \(\sin h = h - \frac{h^3}{6} + o(h^3)\)，得 \[ \sin h - h = -\frac{h^3}{6} + o(h^3), \] 所以 \[ \frac{\sin h - h}{h^2} = -\frac{h}{6} + o(h) \to 0 \quad (h \to 0). \] 因此极限存在，说明 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导。

由第一步计算，导数 \[ f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{\sin h - h}{h^2} = 0. \]

使用分部积分法。令 \[ u = \ln(1+x), \quad dv = x\,dx, \] 则 \[ du = \frac{1}{1+x}dx, \quad v = \frac{x^2}{2}. \] 于是 \[ I = \left. \frac{x^2}{2} \ln(1+x) \right|_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x} dx. \] 先计算边界项：当 \(x=1\) 时，\(\frac{1}{2} \ln 2\)；当 \(x=0\) 时，值为0。所以边界项为 \(\frac{1}{2}\ln 2\)。

做多项式除法： \[ \frac{x^2}{1+x} = x - 1 + \frac{1}{1+x}. \] 因此 \[ \int_0^1 \frac{x^2}{1+x} dx = \int_0^1 \left( x - 1 + \frac{1}{1+x} \right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x + \ln(1+x) \right]_0^1. \] 代入上下限：上端 \(\frac12 - 1 + \ln 2 = -\frac12 + \ln 2\)，下端0。所以积分值为 \(-\frac12 + \ln 2\)。

原积分 \[ I = \frac12 \ln 2 - \frac12\left( -\frac12 + \ln 2 \right) = \frac12 \ln 2 + \frac14 - \frac12 \ln 2 = \frac14. \]