广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
13、证明：$f(x)=x^{2}$ 在 $[a, b]$ 上一致连续，在 $(-\infty,+\infty)$ 上不一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明在闭区间 [a,b] 上一致连续
由康托尔定理，闭区间上的连续函数必一致连续。由于 $f(x)=x^2$ 是多项式，在 $[a,b]$ 上连续，因此一致连续。也可用定义：对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta = \frac{\varepsilon}{2\max\{|a|,|b|\}+1}$，则当 $|x_1-x_2|<\delta$ 且 $x_1,x_2\in[a,b]$ 时，有 $|x_1^2-x_2^2| = |x_1-x_2|\cdot|x_1+x_2| \leq |x_1-x_2|\cdot 2\max\{|a|,|b|\} < \varepsilon$。
公式：|x_1^2-x_2^2| = |x_1-x_2|\cdot|x_1+x_2| \leq |x_1-x_2|\cdot 2\max\{|a|,|b|\}
提示：注意δ的选取依赖于区间端点，不能直接用于整个实数轴。
步骤 2/3
目标：证明在 (−∞,+∞) 上不一致连续
取 $\varepsilon_0 = 1$。对任意 $\delta > 0$，令 $x_1 = \frac{1}{\delta}$，$x_2 = \frac{1}{\delta} + \frac{\delta}{2}$，则 $|x_1-x_2| = \frac{\delta}{2} < \delta$，但 $|x_1^2-x_2^2| = \frac{\delta}{2}\cdot\left(\frac{2}{\delta}+\frac{\delta}{2}\right) = 1 + \frac{\delta^2}{4} > 1 = \varepsilon_0$。因此一致连续定义不成立。
公式：|x_1^2-x_2^2| = \frac{\delta}{2}\cdot\left(\frac{2}{\delta}+\frac{\delta}{2}\right) = 1 + \frac{\delta^2}{4}
提示：关键在于选取随δ变化的点，使得自变量差很小但函数值差固定大于某个正数。
步骤 3/3
目标：总结结论
因此，$f(x)=x^2$ 在任意闭区间 $[a,b]$ 上一致连续，但在 $(-\infty,+\infty)$ 上不一致连续。
提示：区分一致连续与连续：一致连续要求δ与点无关，仅依赖于ε。
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