广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
9、求空间一点 $P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 到平面 $A x+B y+C z+D=0$ 的最短距离． 10．计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, ~ \Omega$ 是由锥面 $\displaystyle z^{2}=\frac{h^{2}}{R^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 与平面 $z=h$ 所围成的闭区域，
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立点到平面距离的几何模型
设平面上任意一点 $Q(x_1, y_1, z_1)$ 满足平面方程 $Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0$。构造向量 $\overrightarrow{PQ} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0)$，平面的法向量为 $\vec{n} = (A, B, C)$。点 $P$ 到平面的最短距离等于 $\overrightarrow{PQ}$ 在法向量方向上的投影长度。
公式：$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ}|}{\|\vec{n}\|}$
提示：注意投影公式中取绝对值，确保距离非负。
步骤 2/6
目标：计算点积并利用平面方程化简
计算 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} = A(x_1 - x_0) + B(y_1 - y_0) + C(z_1 - z_0) = (Ax_1 + By_1 + Cz_1) - (Ax_0 + By_0 + Cz_0)$。由于 $Q$ 在平面上，$Ax_1 + By_1 + Cz_1 = -D$，代入得 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} = -D - (Ax_0 + By_0 + Cz_0) = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D)$。
公式：$\vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D)$
提示：注意符号处理，最终取绝对值。
步骤 3/6
目标：得到点到平面距离公式
将点积结果代入投影公式，并取绝对值：$d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$。这就是空间一点到平面的最短距离公式。
公式：$d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
提示：分母是法向量的模长，不能为零（平面方程中 $A,B,C$ 不全为零）。
步骤 4/6
目标：分析三重积分区域并选择坐标系
区域 $\Omega$ 由锥面 $z^2 = \frac{h^2}{R^2}(x^2 + y^2)$ 和平面 $z = h$ 围成。在高度 $z$ 处，截面为圆：$x^2 + y^2 = \left(\frac{R}{h}z\right)^2$，半径 $r(z) = \frac{R}{h}z$，$z$ 从 $0$ 到 $h$。采用柱坐标：$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$，体积元 $dxdydz = r dr d\theta dz$。
公式：$r(z) = \frac{R}{h}z$
提示：注意锥面方程中 $z \geq 0$，区域是锥体内部。
步骤 5/6
目标：将三重积分化为累次积分
在柱坐标下，积分区域为：$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，$z$ 从 $0$ 到 $h$，对每个固定的 $z$，$r$ 从 $0$ 到 $\frac{R}{h}z$。被积函数 $z^2$ 不变，体积元为 $r dr d\theta dz$，因此积分化为：$I = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{h} dz \int_{0}^{\frac{R}{h}z} z^2 \cdot r dr$。
公式：$I = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{h} dz \int_{0}^{\frac{R}{h}z} z^2 r dr$
提示：注意积分次序：先对 $r$，再对 $z$，最后对 $\theta$。
步骤 6/6
目标：逐层计算积分
先对 $r$ 积分：$\int_{0}^{\frac{R}{h}z} r dr = \frac{1}{2}\left(\frac{R}{h}z\right)^2 = \frac{R^2}{2h^2}z^2$，乘以 $z^2$ 得 $\frac{R^2}{2h^2}z^4$。再对 $z$ 积分：$\int_{0}^{h} \frac{R^2}{2h^2}z^4 dz = \frac{R^2}{2h^2} \cdot \frac{h^5}{5} = \frac{R^2 h^3}{10}$。最后对 $\theta$ 积分：$\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$。相乘得 $I = 2\pi \cdot \frac{R^2 h^3}{10} = \frac{\pi R^2 h^3}{5}$。
公式：$I = \frac{\pi R^2 h^3}{5}$
提示：计算 $z^4$ 积分时注意幂次，$\int_0^h z^4 dz = h^5/5$。
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