广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
14、设曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x=2(\sin t-t \cos t), \\ y=2(\cos t+t \sin t),\end{array}\right.$ 证明：原点到曲线上任意一点处的法线的距离为常数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出曲线参数方程并求切向量
曲线参数方程为：
\[ x = 2(\sin t - t \cos t), \quad y = 2(\cos t + t \sin t) \]
对参数 \(t\) 求导得切向量：
\[ \frac{dx}{dt} = 2(\cos t - \cos t + t \sin t) = 2t \sin t \]
\[ \frac{dy}{dt} = 2(-\sin t + \sin t + t \cos t) = 2t \cos t \]
因此切向量为 \((2t \sin t, \; 2t \cos t)\)。
公式：\frac{dx}{dt}=2t\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=2t\cos t
提示：注意求导时逐项计算，特别是 \(-t\cos t\) 和 \(t\sin t\) 的导数要仔细。
步骤 2/5
目标：求法线方向并写出法线方程
切线斜率为：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{2t\cos t}{2t\sin t} = \cot t \quad (t \neq 0) \]
法线斜率为 \(-\tan t\)。设曲线上点为 \((x_0, y_0)\)，法线方程为：
\[ y - y_0 = -\tan t \, (x - x_0) \]
化为一般式：
\[ y - y_0 = -\frac{\sin t}{\cos t}(x - x_0) \]
两边乘以 \(\cos t\) 并移项得：
\[ x \sin t + y \cos t - (x_0 \sin t + y_0 \cos t) = 0 \]
公式：x\sin t + y\cos t - (x_0\sin t + y_0\cos t)=0
提示：注意 \(t=0\) 时法线为竖直直线，需单独验证。
步骤 3/5
目标：代入坐标表达式并化简常数项
将 \(x_0 = 2(\sin t - t\cos t)\)，\(y_0 = 2(\cos t + t\sin t)\) 代入常数项：
\[ x_0\sin t + y_0\cos t = 2(\sin t - t\cos t)\sin t + 2(\cos t + t\sin t)\cos t \]
展开：
\[ = 2\sin^2 t - 2t\cos t\sin t + 2\cos^2 t + 2t\sin t\cos t \]
合并得：
\[ = 2(\sin^2 t + \cos^2 t) = 2 \]
因此法线方程为：
\[ x\sin t + y\cos t - 2 = 0 \]
公式：x_0\sin t + y_0\cos t = 2
提示：注意 \(-2t\cos t\sin t\) 与 \(+2t\sin t\cos t\) 抵消，这是关键化简。
步骤 4/5
目标：计算原点到法线的距离
原点到直线 \(Ax+By+C=0\) 的距离公式为 \(d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。
此处 \(A = \sin t\)，\(B = \cos t\)，\(C = -2\)，故：
\[ d = \frac{|-2|}{\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t}} = \frac{2}{1} = 2 \]
距离与参数 \(t\) 无关，恒为常数 2。
公式：d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = 2
提示：注意分母 \(\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}=1\)，这是三角恒等式的应用。
步骤 5/5
目标：验证特殊情况 t=0
当 \(t=0\) 时，\(x=0\)，\(y=2\)，切线斜率为无穷大，法线为竖直直线 \(x=0\)。原点到直线 \(x=0\) 的距离为 \(2\)，与上述结果一致。
公式：无
提示：参数方程中 \(t=0\) 时导数分母为零，需单独讨论，但结果仍成立。
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