广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
6、求抛物线 $y=x^{2}$ 与 $y=8-x^{2}$ 所围成区域的面积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求两条曲线的交点
令 $y = x^2$ 与 $y = 8 - x^2$ 相等，得 $x^2 = 8 - x^2$，即 $2x^2 = 8$，解得 $x^2 = 4$，所以 $x = \pm 2$。代入 $y = x^2$ 得 $y = 4$，因此交点坐标为 $(-2,4)$ 和 $(2,4)$。
公式：$x^2 = 8 - x^2$
提示：解方程时注意移项合并，不要遗漏负根。
步骤 2/5
目标：确定上下曲线的位置
在区间 $[-2,2]$ 内取 $x=0$，代入得 $y = x^2 = 0$，$y = 8 - x^2 = 8$，由于 $8 > 0$，所以上方曲线为 $y = 8 - x^2$，下方曲线为 $y = x^2$。
公式：无
提示：取区间内任意一点（如中点）比较函数值即可判断上下关系。
步骤 3/5
目标：列出面积积分公式
面积 $A = \int_{-2}^{2} \left[ (8 - x^2) - x^2 \right] dx = \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2) \, dx$。
公式：$A = \int_{a}^{b} (y_{\text{上}} - y_{\text{下}}) \, dx$
提示：被积函数要化简，避免后续计算错误。
步骤 4/5
目标：利用偶函数性质简化积分
被积函数 $8 - 2x^2$ 是偶函数，积分区间关于原点对称，因此 $A = 2 \int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx$。
公式：$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$（$f$ 为偶函数）
提示：使用对称性可简化计算，但需确认被积函数是否为偶函数。
步骤 5/5
目标：计算定积分
先求原函数：$\int (8 - 2x^2) \, dx = 8x - \frac{2}{3}x^3$。代入上下限：$\left[ 8x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = 16 - \frac{2}{3} \cdot 8 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$。因此 $A = 2 \times \frac{32}{3} = \frac{64}{3}$。
公式：$\int (8 - 2x^2) \, dx = 8x - \frac{2}{3}x^3$
提示：计算定积分时注意代入上下限要准确，分数运算要细心。
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