广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
7、设 $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，其中 $z=f(x, y)$ 是由方程 $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 x y z$所确定的隐函数，求 $u_{x}^{\prime}$ 及 $u_{x x}^{\prime \prime}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：对隐函数方程两边关于 x 求偏导，求出 ∂z/∂x
原方程：
\[
x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz
\]
对 x 求偏导（y 视为常数，z 是 x,y 的函数）：
\[
3x^{2}+3z^{2}\frac{\partial z}{\partial x}=3yz+3xy\frac{\partial z}{\partial x}
\]
两边除以 3：
\[
x^{2}+z^{2}z_{x}=yz+xy\,z_{x}
\]
移项合并含 z_x 的项：
\[
z^{2}z_{x}-xy\,z_{x}=yz-x^{2}
\]
\[
z_{x}(z^{2}-xy)=yz-x^{2}
\]
解得：
\[
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{yz-x^{2}}{z^{2}-xy}
\]
公式：\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{yz-x^{2}}{z^{2}-xy}
提示：注意隐函数求导时，z 是 x 的函数，对 x 求导要使用链式法则；不要忘记 3xyz 项对 x 求导时有两部分：3yz（将 z 视为常数）和 3xy·∂z/∂x。
步骤 2/8
目标：求一阶偏导 u'_x
由 u = x^2 + y^2 + z^2，对 x 求偏导：
\[
u'_x = \frac{\partial u}{\partial x} = 2x + 2z\frac{\partial z}{\partial x}
\]
代入第一步求得的 ∂z/∂x：
\[
u'_x = 2x + 2z\cdot\frac{yz-x^{2}}{z^{2}-xy}
\]
公式：u'_x = 2x + 2z\cdot\frac{yz-x^{2}}{z^{2}-xy}
提示：直接对 u 求偏导时，z 是 x 的函数，所以对 z^2 求导得到 2z·∂z/∂x。
步骤 3/8
目标：准备求二阶偏导 u''_{xx}，将 u'_x 拆分为可导形式
对 u'_x 再对 x 求偏导：
\[
u''_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2x + 2z\cdot\frac{yz-x^{2}}{z^{2}-xy}\right)
\]
拆开：
\[
= 2 + 2\frac{\partial}{\partial x}\left(z\cdot\frac{yz-x^{2}}{z^{2}-xy}\right)
\]
记 A = z，B = \frac{yz-x^{2}}{z^{2}-xy}，则需对乘积 AB 求导：
\[
\frac{\partial}{\partial x}(AB) = A_x B + A B_x
\]
其中 A_x = z_x，B 需用商法则。
公式：\frac{\partial}{\partial x}(AB) = A_x B + A B_x
提示：注意此处是乘积求导，不要遗漏任何一项；B 是分式，求导要用商法则。
步骤 4/8
目标：用商法则求 B_x
设 B = \frac{N}{D}，其中 N = yz - x^2，D = z^2 - xy。
求偏导（对 x）：
\[
N_x = y z_x - 2x,\quad D_x = 2z z_x - y
\]
由商法则：
\[
B_x = \frac{N_x D - N D_x}{D^2}
\]
代入得：
\[
B_x = \frac{(y z_x - 2x)(z^2 - xy) - (yz - x^2)(2z z_x - y)}{(z^2 - xy)^2}
\]
公式：B_x = \frac{(y z_x - 2x)(z^2 - xy) - (yz - x^2)(2z z_x - y)}{(z^2 - xy)^2}
提示：商法则中分子分母的求导要仔细，注意 D 的平方在分母。
步骤 5/8
目标：写出 u''_{xx} 的表达式并代入 z_x 化简第一部分
由前两步：
\[
u''_{xx} = 2 + 2\left[ z_x \cdot \frac{yz - x^2}{z^2 - xy} + z \cdot B_x \right]
\]
注意到第一项中 z_x \cdot \frac{yz - x^2}{z^2 - xy} = \frac{(yz - x^2)^2}{(z^2 - xy)^2}（因为 z_x = \frac{yz - x^2}{z^2 - xy}）。
所以：
\[
u''_{xx} = 2 + 2\left[ \frac{(yz - x^2)^2}{(z^2 - xy)^2} + z \cdot \frac{(y z_x - 2x)(z^2 - xy) - (yz - x^2)(2z z_x - y)}{(z^2 - xy)^2} \right]
\]
合并分母：
\[
u''_{xx} = 2 + \frac{2}{(z^2 - xy)^2}\left[ (yz - x^2)^2 + z\big( (y z_x - 2x)(z^2 - xy) - (yz - x^2)(2z z_x - y) \big) \right]
\]
公式：u''_{xx} = 2 + \frac{2}{(z^2 - xy)^2}\left[ (yz - x^2)^2 + z\big( (y z_x - 2x)(z^2 - xy) - (yz - x^2)(2z z_x - y) \big) \right]
提示：代入 z_x 时要小心，第一项直接平方化简；后续括号内需进一步代入 z_x 化简。
步骤 6/8
目标：代入 z_x 化简括号内第一部分 (y z_x - 2x)(z^2 - xy)
代入 z_x = \frac{yz - x^2}{z^2 - xy}：
\[
(y z_x - 2x)(z^2 - xy) = \left( y\cdot\frac{yz - x^2}{z^2 - xy} - 2x \right)(z^2 - xy)
\]
展开：
\[
= y(yz - x^2) - 2x(z^2 - xy)
\]
\[
= y^2 z - y x^2 - 2x z^2 + 2x^2 y
\]
合并 -y x^2 + 2x^2 y = x^2 y，得：
\[
= y^2 z - 2x z^2 + x^2 y
\]
公式：(y z_x - 2x)(z^2 - xy) = y^2 z - 2x z^2 + x^2 y
提示：注意合并同类项时符号不要出错，-y x^2 与 +2x^2 y 合并为 +x^2 y。
步骤 7/8
目标：代入 z_x 化简括号内第二部分 (yz - x^2)(2z z_x - y) 并乘以 z
先计算 (yz - x^2)(2z z_x - y)，代入 z_x：
\[
2z z_x - y = \frac{2z(yz - x^2)}{z^2 - xy} - y
\]
所以：
\[
(yz - x^2)(2z z_x - y) = \frac{2z(yz - x^2)^2}{z^2 - xy} - y(yz - x^2)
\]
两边乘以 z：
\[
z\cdot\text{第二部分} = \frac{2z^2 (yz - x^2)^2}{z^2 - xy} - yz(yz - x^2)
\]
公式：z\cdot\text{第二部分} = \frac{2z^2 (yz - x^2)^2}{z^2 - xy} - yz(yz - x^2)
提示：通分时注意分母不要丢失，最后乘以 z 时要逐项乘。
步骤 8/8
目标：合并括号内表达式并写出最终 u''_{xx}
括号内为：
\[
\text{第一部分乘z} - \text{第二部分乘z}
\]
第一部分乘 z（由第6步结果乘以 z）：
\[
z(y^2 z - 2x z^2 + x^2 y) = y^2 z^2 - 2x z^3 + x^2 y z
\]
减去第二部分乘 z：
\[
\left( y^2 z^2 - 2x z^3 + x^2 y z \right) - \left( \frac{2z^2 (yz - x^2)^2}{z^2 - xy} - yz(yz - x^2) \right)
\]
注意减去负号变为加：
\[
= y^2 z^2 - 2x z^3 + x^2 y z - \frac{2z^2 (yz - x^2)^2}{z^2 - xy} + yz(yz - x^2)
\]
合并后两项：x^2 y z + yz(yz - x^2) = x^2 y z + y^2 z^2 - x^2 y z = y^2 z^2。
所以括号内简化为：
\[
2y^2 z^2 - 2x z^3 - \frac{2z^2 (yz - x^2)^2}{z^2 - xy}
\]
代入 u''_{xx} 表达式：
\[
u''_{xx} = 2 + \frac{2}{(z^2 - xy)^2}\left( 2y^2 z^2 - 2x z^3 - \frac{2z^2 (yz - x^2)^2}{z^2 - xy} \right)
\]
进一步整理可得最终形式（通常保留此化简形式即可）。
公式：u''_{xx} = 2 + \frac{2}{(z^2 - xy)^2}\left( 2y^2 z^2 - 2x z^3 - \frac{2z^2 (yz - x^2)^2}{z^2 - xy} \right)
提示：化简过程中注意合并同类项，最终表达式可以继续通分，但此形式已足够；实际计算时可根据需要进一步简化。
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