广西大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
15、根据有限覆盖定理证明：实数轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定条件和假设
设 \( S \) 是实数轴 \(\mathbb{R}\) 上的一个有界无限点集。由于 \( S \) 有界，存在闭区间 \([a, b]\) 使得 \( S \subseteq [a, b] \)。我们欲证 \( S \) 在 \([a, b]\) 中至少有一个聚点。
公式：S \subseteq [a, b]
提示：注意有界性保证存在闭区间包含整个点集，这是应用有限覆盖定理的前提。
步骤 2/6
目标：反证法假设
假设 \( S \) 在 \([a, b]\) 中没有聚点。则对任意 \( x \in [a, b] \)，由于 \( x \) 不是 \( S \) 的聚点，存在 \( \delta_x > 0 \) 使得开区间 \((x - \delta_x, x + \delta_x)\) 内至多包含 \( S \) 中的有限个点。
公式：\forall x \in [a, b], \exists \delta_x > 0: |(x-\delta_x, x+\delta_x) \cap S| < \infty
提示：聚点的定义：如果 \( x \) 是聚点，则任何邻域内都含有 \( S \) 中无穷多个点；这里反用其否定。
步骤 3/6
目标：构造开覆盖
构造开区间族 \( \mathcal{U} = \{ (x - \delta_x, x + \delta_x) \mid x \in [a, b] \} \)。显然，\( \mathcal{U} \) 覆盖了整个闭区间 \([a, b]\)，因为每个 \( x \) 自身被其邻域覆盖。
公式：[a, b] \subseteq \bigcup_{x \in [a, b]} (x - \delta_x, x + \delta_x)
提示：开覆盖的构造依赖于每个点对应的邻域，注意邻域半径 \(\delta_x\) 可能不同。
步骤 4/6
目标：应用有限覆盖定理
根据有限覆盖定理（海涅-博雷尔定理），闭区间 \([a, b]\) 的任意开覆盖都有有限子覆盖。因此存在有限个点 \( x_1, x_2, \dots, x_n \in [a, b] \)，使得 \([a, b] \subseteq \bigcup_{i=1}^n (x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i})\)。
公式：[a, b] \subseteq \bigcup_{i=1}^n (x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i})
提示：有限覆盖定理只适用于闭区间，这里 \([a,b]\) 是闭区间，所以可以应用。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
每个开区间 \((x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i})\) 内至多包含 \( S \) 的有限个点，因此有限个这样的开区间的并集也只包含 \( S \) 的有限个点。但 \( S \subseteq [a, b] \)，而 \([a, b]\) 被这些开区间覆盖，故 \( S \) 只能是有限集，这与 \( S \) 是无限点集矛盾。
公式：|S| = \left| S \cap \bigcup_{i=1}^n (x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i}) \right| \leq \sum_{i=1}^n \left| S \cap (x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i}) \right| < \infty
提示：注意有限个有限集的并仍为有限集，这是关键推理。
步骤 6/6
目标：结论
因此假设不成立，\( S \) 在 \([a, b]\) 中至少有一个聚点。即实数轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。
提示：该结论即为波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，此处用有限覆盖定理证明。
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