广西民族大学 2007年数学分析第0题
📝 题目
1．（15 分）证明： $\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} f\left(x^{2}\right)=A$ 等价于 $\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解极限定义并明确要证明的等价关系
题目要求证明 $\lim_{x \to 0} f(x^2) = A$ 等价于 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = A$。首先回顾两个极限的 $\varepsilon$-$\delta$ 定义：
- $\lim_{x \to 0} f(x^2) = A$ 表示：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x| < \delta$ 时，有 $|f(x^2) - A| < \varepsilon$。
- $\lim_{x \to 0^+} f(x) = A$ 表示：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta' > 0$，使得当 $0 < x < \delta'$ 时，有 $|f(x) - A| < \varepsilon$。
注意到 $x^2 \geq 0$，且当 $x \to 0$ 时 $x^2 \to 0^+$，这为证明提供了基础。
公式：\lim_{x \to 0} f(x^2) = A \iff \lim_{x \to 0^+} f(x) = A
提示：注意 $x^2$ 总是非负，因此 $f(x^2)$ 的自变量只取非负值，这与右极限的自变量范围一致。
步骤 2/4
目标：证明从左到右：由 $\lim_{x \to 0} f(x^2) = A$ 推出 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = A$
假设 $\lim_{x \to 0} f(x^2) = A$。对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $0 < |x| < \delta_1$ 时，有 $|f(x^2) - A| < \varepsilon$。
现在考虑任意 $t > 0$ 且 $t$ 充分小。令 $x = \sqrt{t}$，则当 $0 < t < \delta_1^2$ 时，有 $0 < x < \delta_1$，从而 $0 < |x| < \delta_1$，于是 $|f(t) - A| = |f(x^2) - A| < \varepsilon$。
因此取 $\delta' = \delta_1^2$，即满足右极限定义，故 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = A$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta_1 > 0, \forall x: 0 < |x| < \delta_1 \Rightarrow |f(x^2)-A| < \varepsilon \\ \Rightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta' = \delta_1^2 > 0, \forall t: 0 < t < \delta' \Rightarrow |f(t)-A| < \varepsilon
提示：注意 $x = \sqrt{t}$ 是单射，且 $t$ 的范围由 $x$ 的范围平方得到，不要混淆 $\delta$ 与 $\delta'$ 的关系。
步骤 3/4
目标：证明从右到左：由 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = A$ 推出 $\lim_{x \to 0} f(x^2) = A$
假设 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = A$。对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $0 < x < \delta_2$ 时，有 $|f(x) - A| < \varepsilon$。
现在考虑 $x$ 趋近于 $0$（可从正负两侧）。当 $0 < |x| < \sqrt{\delta_2}$ 时，有 $0 < x^2 < \delta_2$，因此 $x^2$ 满足右极限的条件，于是 $|f(x^2) - A| < \varepsilon$。
注意 $x = 0$ 不在考虑范围内（去心邻域），所以取 $\delta = \sqrt{\delta_2}$，即满足极限定义，故 $\lim_{x \to 0} f(x^2) = A$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta_2 > 0, \forall t: 0 < t < \delta_2 \Rightarrow |f(t)-A| < \varepsilon \\ \Rightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta = \sqrt{\delta_2} > 0, \forall x: 0 < |x| < \delta \Rightarrow |f(x^2)-A| < \varepsilon
提示：这里 $x$ 可以取负值，但 $x^2$ 总是正数，所以只需考虑 $x^2$ 在 $(0, \delta_2)$ 内即可，无需区分 $x$ 的符号。
步骤 4/4
目标：总结等价关系
由以上两个方向的证明，我们得到：
- 若 $\lim_{x \to 0} f(x^2) = A$，则 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = A$。
- 若 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = A$，则 $\lim_{x \to 0} f(x^2) = A$。
因此这两个极限等价，命题得证。
公式：\lim_{x \to 0} f(x^2) = A \iff \lim_{x \to 0^+} f(x) = A
提示：等价性成立的关键在于 $x^2$ 在 $x \to 0$ 时只取正值且覆盖所有充分小的正数，因此 $f(x^2)$ 的极限行为完全由 $f$ 在 $0^+$ 的极限决定。
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