📝 广西民族大学 2007年数学分析真题

1．（15 分）证明： $\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} f\left(x^{2}\right)=A$ 等价于 $\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=A$ ．

2．（15 分）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x y}{x} & x \neq 0 \\ y & x=0\end{array}\right.$ 的连续性，并确定它的连续点集．

四、（20分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，试证至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得

$$
\int_{a}^{b} f(x) d x=f(\xi)(b-a) \text { 成立, 其中 } a<\xi<b \text {. }
$$

三、（20 分）计算 $\displaystyle \mathrm{J}=\iint_{S} x d y d z+y d z d x+z d x d y$ ，其中曲面 S ：由球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x$ 相交所得球面部分，球面外侧为正向。

2．（15 分）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x y}{x} & x \neq 0 \\ y & x=0\end{array}\right.$ 的连续性，并确定它的连续点集．