广西民族大学 2007年数学分析第0题
📝 题目
2．（15 分）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x y}{x} & x \neq 0 \\ y & x=0\end{array}\right.$ 的连续性，并确定它的连续点集．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数定义与定义域
函数定义为：
\[ f(x,y)=\begin{cases} \frac{\sin(xy)}{x}, & x \neq 0, \\ y, & x=0. \end{cases} \]
定义域为整个平面 \(\mathbb{R}^2\)，因为当 \(x=0\) 时也有定义。
公式：f(x,y)=\begin{cases} \frac{\sin(xy)}{x}, & x \neq 0, \\ y, & x=0 \end{cases}
提示：注意分段函数在 \(x=0\) 处的定义是 \(y\)，不是 \(0\)。
步骤 2/5
目标：分析非 x=0 区域的连续性
当 \(x \neq 0\) 时，\(f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x}\)。由于 \(\sin(xy)\) 是连续函数，且分母 \(x \neq 0\)，因此该表达式在 \(x \neq 0\) 的区域上连续。所以所有满足 \(x \neq 0\) 的点都是连续点。
公式：\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{\sin(xy)}{x}=\frac{\sin(x_0y_0)}{x_0},\quad x_0\neq 0
提示：此处无需特殊技巧，直接利用初等函数的连续性即可。
步骤 3/5
目标：考虑 x=0 直线上的点，建立连续性条件
在 \(x=0\) 上的点 \((0,y_0)\) 处，函数值为 \(f(0,y_0)=y_0\)。要判断连续性，需考察当 \((x,y)\to(0,y_0)\) 时，\(f(x,y)\) 的极限是否等于 \(y_0\)。由于 \(x=0\) 时已单独定义，主要考虑从 \(x\neq 0\) 的方向趋近。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,y_0)} f(x,y) \stackrel{?}{=} f(0,y_0)=y_0
提示：注意极限路径的任意性，不能只沿 \(x=0\) 方向。
步骤 4/5
目标：计算极限并验证连续性
对于 \(x \neq 0\)，有 \(f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x}\)。利用恒等变形：
\[ \frac{\sin(xy)}{x} = y \cdot \frac{\sin(xy)}{xy}. \]
当 \((x,y)\to(0,y_0)\) 时，\(xy\to 0\)，且 \(\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1\)，因此
\[ \lim_{(x,y)\to(0,y_0)} \frac{\sin(xy)}{x} = y_0 \cdot 1 = y_0. \]
该极限等于函数值 \(f(0,y_0)=y_0\)，故在 \((0,y_0)\) 处连续。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,y_0)}\frac{\sin(xy)}{x}=y_0
提示：关键步骤：将 \(\frac{\sin(xy)}{x}\) 写成 \(y\cdot\frac{\sin(xy)}{xy}\)，利用重要极限。
步骤 5/5
目标：总结连续点集
由以上分析，函数在 \(x \neq 0\) 的区域处处连续，且在 \(x=0\) 的直线上每一点也连续。因此函数在整个 \(\mathbb{R}^2\) 上连续，连续点集为整个平面。
公式：\text{连续点集} = \mathbb{R}^2
提示：不要遗漏 \(x=0\) 上的点，它们也是连续的。
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