广西民族大学 2007年数学分析第0题

曲面 S 是球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\) 与柱面 \(x^2 + y^2 = a x\) 相交所截出的球面部分。柱面方程可改写为 \((x - \frac{a}{2})^2 + y^2 = (\frac{a}{2})^2\)，这是一个轴线平行于 z 轴的圆柱，半径为 \(a/2\)，中心在 \((a/2,0)\)。它截球面得到的是球面上被柱面内部（即 \(x^2+y^2 \le a x\)）所截的部分。题目指定取球面的外侧为正向。

积分 \(J = \iint_S x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy\) 可看作向量场 \(\mathbf{F} = (x, y, z)\) 的第二类曲面积分：\(J = \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)，其中 \(d\mathbf{S}\) 方向为外侧。由于 S 只是球面的一部分，不是封闭曲面，不能直接使用高斯公式，需直接参数化计算。

球面用角度参数：\(x = a\sin\theta\cos\phi,\quad y = a\sin\theta\sin\phi,\quad z = a\cos\theta\)，其中 \(\theta\in[0,\pi]\)。球面外侧法向量对应 \(\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi = a^2\sin\theta\,(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)\)，与外侧一致。\(\mathbf{F}=(x,y,z) = a(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)\)。点乘得：\(\mathbf{F}\cdot (\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_\phi) = a^3\sin\theta\)。积分简化为 \(J = \iint_D a^3\sin\theta\,d\theta d\phi\)，其中 D 是满足 \(x^2+y^2\le a x\) 的参数区域。

由 \(x^2+y^2 = a^2\sin^2\theta\)，条件 \(x^2+y^2 \le a x\) 化为 \(a^2\sin^2\theta \le a^2\sin\theta\cos\phi\)。当 \(\sin\theta > 0\) 时，约去 \(a^2\sin\theta\) 得 \(\sin\theta \le \cos\phi\)，且 \(\cos\phi \ge 0\)，即 \(\phi\in[-\pi/2,\pi/2]\)。对每个 \(\phi\)，\(\theta\) 从 0 到 \(\arcsin(\cos\phi)\)。于是 \(J = a^3\int_{\phi=-\pi/2}^{\pi/2} \int_{\theta=0}^{\arcsin(\cos\phi)} \sin\theta\,d\theta d\phi\)。先对 \(\theta\) 积分：\(\int_0^{\arcsin(\cos\phi)} \sin\theta\,d\theta = 1 - \cos(\arcsin(\cos\phi)) = 1 - \sqrt{1-\cos^2\phi} = 1 - |\sin\phi|\)。因此 \(J = a^3\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 - |\sin\phi|)\,d\phi\)。

被积函数是偶函数：\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 - |\sin\phi|)\,d\phi = 2\int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin\phi)\,d\phi\)。计算：\(\int_{0}^{\pi/2} 1\,d\phi = \frac{\pi}{2}\)，\(\int_{0}^{\pi/2} \sin\phi\,d\phi = 1\)，所以结果为 \(2(\frac{\pi}{2} - 1) = \pi - 2\)。因此 \(J = a^3(\pi - 2)\)。

综合以上计算，曲面积分的结果为 \(a^3(\pi - 2)\)。