广西民族大学 2007年数学分析第0题
📝 题目
四、（20分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，试证至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得
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\int_{a}^{b} f(x) d x=f(\xi)(b-a) \text { 成立, 其中 } a<\xi<b \text {. }
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定函数在闭区间上的最值
由于函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，根据闭区间上连续函数的性质，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必能取得最大值和最小值。设 $m = \min_{x \in [a,b]} f(x)$，$M = \max_{x \in [a,b]} f(x)$。则对任意 $x \in [a,b]$，有 $m \le f(x) \le M$。
公式：$m = \min_{x \in [a,b]} f(x), \quad M = \max_{x \in [a,b]} f(x)$
提示：注意最值的存在性依赖于闭区间上的连续性，开区间不成立。
步骤 2/4
目标：对不等式积分
对不等式 $m \le f(x) \le M$ 在区间 $[a,b]$ 上积分，由积分的保序性，得到 $\int_a^b m \, dx \le \int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b M \, dx$。计算常数积分：$\int_a^b m \, dx = m(b-a)$，$\int_a^b M \, dx = M(b-a)$。
公式：$m(b-a) \le \int_a^b f(x) \, dx \le M(b-a)$
提示：积分保序性要求被积函数可积且不等式逐点成立，这里连续函数保证可积。
步骤 3/4
目标：构造平均值并应用介值定理
将不等式两边同时除以正数 $b-a$，得到 $m \le \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \le M$。记 $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$，则 $\mu$ 介于最小值 $m$ 和最大值 $M$ 之间。由闭区间上连续函数的介值定理，存在一点 $\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi) = \mu$。
公式：$\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx, \quad f(\xi) = \mu$
提示：介值定理保证存在性，但此时 $\xi$ 可能在端点，需要进一步说明可选取在开区间内。
步骤 4/4
目标：证明ξ可以取在开区间内
若 $f(x)$ 不是常数，则最大值和最小值至少有一个在内部取到，或介值点可在内部找到；若 $f(x)$ 是常数，则任意 $\xi \in (a,b)$ 均满足等式。因此总存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi) = \mu$。于是 $\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a)$。
公式：$\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a), \quad \xi \in (a,b)$
提示：当 $f$ 为常数时，端点也满足，但题目要求 $\xi \in (a,b)$，常数情形显然可取内部点。
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