广西民族大学 2007年数学分析第0题
📝 题目
2．（15 分）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x y}{x} & x \neq 0 \\ y & x=0\end{array}\right.$ 的连续性，并确定它的连续点集．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数定义域和分段形式
函数 $f(x,y)$ 定义为：当 $x \neq 0$ 时，$f(x,y) = \frac{\sin(xy)}{x}$；当 $x = 0$ 时，$f(0,y) = y$。我们需要研究它在整个 $\mathbb{R}^2$ 上的连续性。
公式：f(x,y)=\begin{cases}\frac{\sin(xy)}{x}, & x \neq 0 \\ y, & x = 0\end{cases}
提示：注意分段点位于直线 $x=0$ 上，需单独讨论该直线上的连续性。
步骤 2/5
目标：讨论 $x \neq 0$ 时的连续性
当 $x \neq 0$ 时，$f(x,y) = \frac{\sin(xy)}{x}$ 是初等函数，分子 $\sin(xy)$ 连续，分母 $x$ 连续且非零，因此在该开集上处处连续。
公式：\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{\sin(xy)}{x} = \frac{\sin(x_0y_0)}{x_0}, \quad x_0 \neq 0
提示：初等函数在其定义域内连续，无需额外验证。
步骤 3/5
目标：讨论 $x=0$ 时的连续性：计算极限
在点 $(0,y_0)$ 处，需要验证 $\lim_{(x,y)\to(0,y_0)} f(x,y) = f(0,y_0)=y_0$。对于 $x \neq 0$ 的路径，有 $f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x}$。利用等价无穷小 $\sin t \sim t$（$t\to 0$），或改写为 $f(x,y)=y \cdot \frac{\sin(xy)}{xy}$。令 $t=xy$，当 $(x,y)\to(0,y_0)$ 时 $t\to 0$，且 $\frac{\sin t}{t}\to 1$，故极限为 $y_0$。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,y_0)}\frac{\sin(xy)}{x} = \lim_{(x,y)\to(0,y_0)} y \cdot \frac{\sin(xy)}{xy} = y_0 \cdot 1 = y_0
提示：注意 $\frac{\sin(xy)}{xy}$ 在 $xy \neq 0$ 时有定义，且极限为1，路径需排除 $xy=0$ 但极限仍一致。
步骤 4/5
目标：验证 $x=0$ 时所有点的连续性
由上述极限计算可知，对任意 $y_0 \in \mathbb{R}$，都有 $\lim_{(x,y)\to(0,y_0)} f(x,y) = y_0 = f(0,y_0)$，因此直线 $x=0$ 上的每一点也连续。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,y_0)} f(x,y) = y_0 = f(0,y_0)
提示：该结论对所有 $y_0$ 成立，无需区分 $y_0$ 的值。
步骤 5/5
目标：综合结论
函数在 $x \neq 0$ 的区域连续，在 $x=0$ 的直线上也连续，因此在整个 $\mathbb{R}^2$ 上处处连续。连续点集为整个平面。
公式：\text{连续点集} = \mathbb{R}^2
提示：没有不连续点，注意与常见分段函数（如 $\frac{xy}{x^2+y^2}$）区分。
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