广西民族大学 2009年数学分析第0题
📝 题目
1）（10．分）求： $\int x \operatorname{arctgx} d x$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：选择分部积分的u和dv
观察到被积函数是 $x$ 和 $\arctan x$ 的乘积，适合使用分部积分法。令 $u = \arctan x$，$dv = x \, dx$，因为 $\arctan x$ 的导数简单，而 $x$ 容易积分。
公式：分部积分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：通常将容易求导的函数设为 $u$，容易积分的函数设为 $dv$。
步骤 2/5
目标：求 du 和 v
对 $u = \arctan x$ 求导得 $du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$；对 $dv = x \, dx$ 积分得 $v = \frac{x^2}{2}$。
公式：$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$，$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$
提示：注意积分常数 $C$ 在分部积分过程中暂不添加，最后统一添加。
步骤 3/5
目标：代入分部积分公式
将 $u, v, du$ 代入公式：$\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx$。
公式：$\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$
提示：提取常数因子 $\frac{1}{2}$ 简化后续计算。
步骤 4/5
目标：化简剩余积分
处理 $\int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$。通过多项式除法或恒等变形：$\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$，于是积分化为 $\int (1 - \frac{1}{1+x^2}) \, dx = x - \arctan x + C$。
公式：$\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$，$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C$
提示：注意此处 $C$ 是积分常数，但最终结果中会合并为一个常数。
步骤 5/5
目标：代回并整理结果
将化简结果乘以 $\frac{1}{2}$ 后代入原式：$\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2}(x - \arctan x) + C$。展开并合并同类项：$= \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan x + C = \frac{1}{2}(x^2+1)\arctan x - \frac{x}{2} + C$。
公式：$\frac{x^2}{2} \arctan x + \frac{1}{2} \arctan x = \frac{1}{2}(x^2+1)\arctan x$
提示：最终答案中 $\arctan x$ 的系数可以提取公因子 $\frac{1}{2}$，注意不要遗漏常数 $C$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。