广西民族大学 2009年数学分析第0题
📝 题目
2）（10分）求： $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解积分的几何意义
函数 $y = \sqrt{1 - x^2}$ 表示圆心在原点、半径为1的上半圆。当 $x$ 从0到1时，对应的图形是半径为1的圆在第一象限的四分之一圆弧下的面积。因此，该积分等于半径为1的圆的面积的四分之一，即 $\frac{\pi}{4}$。但为了严格推导，我们使用代数方法。
公式：圆的面积公式 $S = \pi r^2$，其中 $r=1$，故四分之一面积为 $\frac{\pi}{4}$。
提示：注意几何意义可以帮助快速验证结果，但解题时仍需写出代数步骤。
步骤 2/5
目标：进行三角换元
令 $x = \sin\theta$，则当 $x=0$ 时，$\theta=0$；当 $x=1$ 时，$\theta=\frac{\pi}{2}$。同时 $dx = \cos\theta \, d\theta$。被积函数 $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\cos^2\theta} = |\cos\theta|$。在 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 上，$\cos\theta \ge 0$，所以 $|\cos\theta| = \cos\theta$。于是积分化为：
$$\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx = \int_0^{\pi/2} \cos\theta \cdot \cos\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta$$
公式：$x = \sin\theta$, $dx = \cos\theta \, d\theta$, $\sqrt{1-x^2} = \cos\theta$
提示：换元时注意积分限的对应以及三角函数的取值范围，避免绝对值符号处理错误。
步骤 3/5
目标：利用倍角公式化简被积函数
使用倍角公式 $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$，则积分变为：
$$\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta$$
公式：$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$
提示：倍角公式是处理 $\cos^2\theta$ 和 $\sin^2\theta$ 积分的常用技巧。
步骤 4/5
目标：分别积分并计算
将积分拆分为两项：
$$\int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} 1 \, d\theta + \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \cos 2\theta \, d\theta$$
计算第一项：$\frac{1}{2} \cdot \left[ \theta \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$
计算第二项：$\frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{4} (\sin\pi - \sin 0) = 0$
因此，原积分值为 $\frac{\pi}{4}$。
公式：$\int \cos 2\theta \, d\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$
提示：计算定积分时，代入上下限要仔细，注意 $\sin\pi = 0$。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
综合以上步骤，得到：
$$\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{4}$$
公式：$$\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{4}$$
提示：最终结果与几何意义一致，可作为验算。
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