广西民族大学 2009年数学分析第0题
📝 题目
1）（15分）幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫中径；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定幂级数的系数 a_n
题目中未明确给出 a_n 的具体表达式，但根据常见题型，假设 a_n = \frac{1}{n}，则幂级数为 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}。
公式：a_n = \frac{1}{n}
提示：注意：若题目中 a_n 有不同形式，需相应调整，例如 a_n = \frac{1}{n!} 或 a_n = 1 等。
步骤 2/5
目标：选择收敛半径的计算公式
对于幂级数 \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n，收敛半径 R 可用比值法或根值法计算。比值法公式为：\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|，若该极限存在。
公式：\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|
提示：比值法适用于 a_n 为有理函数或阶乘形式；根值法适用于 a_n 含 n 次幂形式。
步骤 3/5
目标：计算比值极限
计算 \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1/(n+1)}{1/n} = \frac{n}{n+1}，当 n \to \infty 时，\frac{n}{n+1} \to 1。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1
提示：注意极限过程：分子分母同除以 n 可得 \frac{1}{1+1/n} \to 1。
步骤 4/5
目标：得出收敛半径
由 \frac{1}{R} = 1，解得 R = 1。
公式：R = 1
提示：收敛半径 R 为正数，表示级数在 |x| < R 内绝对收敛。
步骤 5/5
目标：端点收敛性检验（补充）
当 x = 1 时，级数为 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}，即调和级数，发散；当 x = -1 时，级数为 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}，即交错调和级数，条件收敛。因此收敛区间为 [-1, 1)。
公式：x=1: \sum \frac{1}{n} \text{发散}; x=-1: \sum \frac{(-1)^n}{n} \text{条件收敛}
提示：端点检验需单独进行，不可直接由半径公式得出。
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