广西民族大学 2009年数学分析第0题
📝 题目
2）（15 分）数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+a_{n}}{2^{n}}$ 的利．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：拆分级数
将原级数拆分为两个级数之和：
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n + a_n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}.\]
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n + a_n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}
提示：拆分的前提是两个级数分别收敛，但此处我们先拆分再分别判断收敛性。
步骤 2/5
目标：判断第一个级数的收敛性
考虑级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}\)。令 \(b_n = \frac{n}{2^n}\)，使用比值判别法：
\[\lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1.\]
因此该级数绝对收敛。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{2} < 1
提示：比值判别法适用于正项级数，此处 \(b_n > 0\)，可直接使用。
步骤 3/5
目标：判断第二个级数的收敛性（基于有界假设）
对于 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}\)，假设 \(\{a_n\}\) 有界，即存在 \(M > 0\) 使得 \(|a_n| \le M\) 对所有 \(n\) 成立。则
\[\left|\frac{a_n}{2^n}\right| \le \frac{M}{2^n}.\]
而 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{M}{2^n}\) 是公比为 \(\frac{1}{2}\) 的等比级数，收敛。由比较判别法，\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}\) 绝对收敛。
公式：\left|\frac{a_n}{2^n}\right| \le \frac{M}{2^n}
提示：这里的关键是 \(a_n\) 有界，若 \(a_n\) 无界则结论可能不同，需另行讨论。
步骤 4/5
目标：综合结论
两个级数均绝对收敛，因此原级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n + a_n}{2^n}\) 绝对收敛，从而收敛。
提示：绝对收敛级数必收敛，这是级数理论中的基本性质。
步骤 5/5
目标：补充说明（若需求和）
若题目要求求和，则第一个级数的和可利用公式 \(\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}\)（\(|x|<1\)），代入 \(x = \frac{1}{2}\) 得 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = 2\)。第二个级数的和依赖于 \(a_n\) 的具体形式，无法进一步计算。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad |x|<1
提示：该公式可通过逐项求导等比级数得到，注意定义域。
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