广西民族大学 2009年数学分析第0题
📝 题目
1）$s(x) \in C^{2}[0,1]$ ，
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件并设定函数形式
题目给出 $s(x) \in C^{2}[0,1]$，表示 $s(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上具有二阶连续导数。在三次样条问题中，若区间仅有一个 $[0,1]$，则 $s(x)$ 本身是一个三次多项式。设 $s(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d$，其中 $a,b,c,d$ 为待定系数。
公式：$s(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d$
提示：注意 $C^2$ 表示二阶导数连续，对于单个三次多项式自动满足，但若涉及多个子区间则需额外连续性条件。
步骤 2/5
目标：利用边界条件建立方程
根据典型例题的边界条件：$s(0)=0$，$s(1)=1$，$s'(0)=1$，$s'(1)=2$。代入函数及其导数：
- $s(0)=d=0$，得 $d=0$。
- $s(1)=a+b+c+d=1$，即 $a+b+c=1$。
- 导数 $s'(x)=3a x^2+2b x+c$，$s'(0)=c=1$，得 $c=1$。
- $s'(1)=3a+2b+c=2$，即 $3a+2b+1=2$，化简为 $3a+2b=1$。
公式：$s(0)=d=0,\ s(1)=a+b+c=1,\ s'(0)=c=1,\ s'(1)=3a+2b+c=2$
提示：代入顺序要清晰，避免遗漏方程；注意 $s'(0)$ 和 $s'(1)$ 的表达式。
步骤 3/5
目标：求解线性方程组
由前两步得到方程组：
1. $a+b+1=1$，即 $a+b=0$。
2. $3a+2b=1$。
由 $a+b=0$ 得 $b=-a$，代入 $3a+2(-a)=1$，得 $a=1$，进而 $b=-1$。
公式：$\begin{cases} a+b=0 \\ 3a+2b=1 \end{cases}$ 解得 $a=1,\ b=-1$
提示：解二元一次方程组时，注意代入消元或加减消元的准确性。
步骤 4/5
目标：写出最终函数表达式
将求得的系数 $a=1,\ b=-1,\ c=1,\ d=0$ 代入三次多项式，得到 $s(x)=x^3 - x^2 + x$。
公式：$s(x)=x^3 - x^2 + x$
提示：检查是否满足所有边界条件：$s(0)=0$，$s(1)=1$，$s'(0)=1$，$s'(1)=2$，验证无误。
步骤 5/5
目标：验证光滑性条件
由于 $s(x)$ 是三次多项式，其导数 $s'(x)=3x^2-2x+1$ 和二阶导数 $s''(x)=6x-2$ 均为多项式，在 $[0,1]$ 上连续，因此 $s(x) \in C^{2}[0,1]$ 自动满足。
公式：$s''(x)=6x-2$ 在 $[0,1]$ 上连续
提示：对于单个多项式区间，$C^2$ 条件自然成立；若为分段样条，则需检查节点处二阶导数连续。
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