广西民族大学 2009年数学分析第0题
📝 题目
2）$s(x)$ 在每一个小区间 $\left[x_{i-1}, x_{i}\right]$ 上为一次多项式。
证明：$\displaystyle \frac{h^{2}}{6} s^{\prime \prime}\left(x_{i-1}\right)+\frac{2 h^{2}}{3} s^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)+\frac{h^{2}}{6} s^{\prime \prime}\left(x_{i+1}\right)=s\left(x_{i-1}\right)-2 s\left(x_{i}\right)+s\left(x_{i+1}\right), \quad i=1, \ldots, n-1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确问题背景与假设
题目中条件“$s(x)$ 在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上为一次多项式”与要证明的等式矛盾（一次多项式二阶导为零，左边恒为零而右边非零）。因此，实际背景应为 $s(x)$ 是三次样条函数：在每个小区间上是三次多项式，且 $s, s', s''$ 在节点处连续。节点等距，步长 $h = x_i - x_{i-1}$ 为常数。记 $s_i = s(x_i)$, $M_i = s''(x_i)$。
公式：h = x_i - x_{i-1}
提示：注意区分题目可能的笔误，理解三次样条才是合理的推导前提。
步骤 2/8
目标：在区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上用二阶导数表示 $s(x)$
由于 $s(x)$ 是三次多项式，其二阶导数 $s''(x)$ 在区间上是线性函数：
$$s''(x) = M_{i-1} \frac{x_i - x}{h} + M_i \frac{x - x_{i-1}}{h}.$$
公式：s''(x) = M_{i-1} \frac{x_i - x}{h} + M_i \frac{x - x_{i-1}}{h}
提示：这是三次样条的基本表示，利用端点二阶导数值线性插值。
步骤 3/8
目标：积分得到 $s'(x)$ 和 $s(x)$ 的表达式
对 $s''(x)$ 积分一次得：
$$s'(x) = -M_{i-1} \frac{(x_i - x)^2}{2h} + M_i \frac{(x - x_{i-1})^2}{2h} + C.$$
再积分一次得：
$$s(x) = M_{i-1} \frac{(x_i - x)^3}{6h} + M_i \frac{(x - x_{i-1})^3}{6h} + C(x - x_{i-1}) + D.$$
公式：s(x) = M_{i-1} \frac{(x_i - x)^3}{6h} + M_i \frac{(x - x_{i-1})^3}{6h} + C(x - x_{i-1}) + D
提示：积分常数 $C, D$ 由节点函数值确定。
步骤 4/8
目标：利用节点值 $s_{i-1}, s_i$ 确定常数 $C, D$
代入 $x = x_{i-1}$：$s_{i-1} = M_{i-1} \frac{h^2}{6} + D$，得 $D = s_{i-1} - \frac{h^2}{6} M_{i-1}$。
代入 $x = x_i$：$s_i = M_i \frac{h^2}{6} + C h + D$，解得
$$C = \frac{s_i - s_{i-1}}{h} + \frac{h}{6}(M_{i-1} - M_i).$$
公式：C = \frac{s_i - s_{i-1}}{h} + \frac{h}{6}(M_{i-1} - M_i)
提示：注意 $D$ 的表达式代入后化简得到 $C$。
步骤 5/8
目标：计算区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 右端点的一阶导数 $s'(x_i^-)$
由 $s'(x)$ 表达式，代入 $x = x_i$：
$$s'(x_i^-) = M_{i-1} \cdot 0 + M_i \cdot \frac{h^2}{2h} + C = \frac{h}{2} M_i + C.$$
将 $C$ 代入得：
$$s'(x_i^-) = \frac{s_i - s_{i-1}}{h} + \frac{h}{6} M_{i-1} + \frac{h}{3} M_i.$$
公式：s'(x_i^-) = \frac{s_i - s_{i-1}}{h} + \frac{h}{6} M_{i-1} + \frac{h}{3} M_i
提示：注意 $M_i$ 项系数为 $\frac{h}{2} + \frac{h}{6}(-1) = \frac{h}{3}$。
步骤 6/8
目标：计算区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 左端点的一阶导数 $s'(x_i^+)$
类似地，在区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 上，$s''(x) = M_i \frac{x_{i+1} - x}{h} + M_{i+1} \frac{x - x_i}{h}$。积分并利用 $s_i, s_{i+1}$ 确定常数后，可得左端点导数为：
$$s'(x_i^+) = \frac{s_{i+1} - s_i}{h} - \frac{h}{3} M_i - \frac{h}{6} M_{i+1}.$$
公式：s'(x_i^+) = \frac{s_{i+1} - s_i}{h} - \frac{h}{3} M_i - \frac{h}{6} M_{i+1}
提示：推导过程与上一步对称，注意符号变化。
步骤 7/8
目标：利用一阶导数连续性条件建立方程
由 $s'(x_i^-) = s'(x_i^+)$ 得：
$$\frac{s_i - s_{i-1}}{h} + \frac{h}{6} M_{i-1} + \frac{h}{3} M_i = \frac{s_{i+1} - s_i}{h} - \frac{h}{3} M_i - \frac{h}{6} M_{i+1}.$$
两边乘以 $h$ 并移项整理：
$$s_i - s_{i-1} + \frac{h^2}{6} M_{i-1} + \frac{h^2}{3} M_i = s_{i+1} - s_i - \frac{h^2}{3} M_i - \frac{h^2}{6} M_{i+1}.$$
公式：s_i - s_{i-1} + \frac{h^2}{6} M_{i-1} + \frac{h^2}{3} M_i = s_{i+1} - s_i - \frac{h^2}{3} M_i - \frac{h^2}{6} M_{i+1}
提示：注意移项时各项符号要准确。
步骤 8/8
目标：化简得到最终等式
将所有项移到一边：
$$s_i - s_{i-1} - s_{i+1} + s_i + \frac{h^2}{6} M_{i-1} + \frac{h^2}{3} M_i + \frac{h^2}{3} M_i + \frac{h^2}{6} M_{i+1} = 0,$$
即
$$2s_i - s_{i-1} - s_{i+1} + \frac{h^2}{6} M_{i-1} + \frac{2h^2}{3} M_i + \frac{h^2}{6} M_{i+1} = 0.$$
移项得：
$$\frac{h^2}{6} M_{i-1} + \frac{2h^2}{3} M_i + \frac{h^2}{6} M_{i+1} = s_{i-1} - 2s_i + s_{i+1}.$$
将 $M_i = s''(x_i)$ 代回即得证。
公式：\frac{h^2}{6} s''(x_{i-1}) + \frac{2h^2}{3} s''(x_i) + \frac{h^2}{6} s''(x_{i+1}) = s(x_{i-1}) - 2s(x_i) + s(x_{i+1})
提示：最终结果即为题目要证明的等式，注意 $i$ 的取值范围为 $1, \ldots, n-1$。
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