广西民族大学 2009年数学分析第0题

在区间 $(0,2\pi)$ 上，傅立叶级数展开式为： $$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$$ 其中系数公式为： $$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$

将 $f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ 代入： $$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\pi-x}{2} \, dx = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (\pi - x) \, dx$$ 计算积分： $$\int_0^{2\pi} (\pi - x) \, dx = \left[ \pi x - \frac{x^2}{2} \right]_0^{2\pi} = (2\pi^2 - 2\pi^2) - 0 = 0$$ 因此 $a_0 = 0$。

代入公式： $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\pi-x}{2} \cos(nx) \, dx = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (\pi - x) \cos(nx) \, dx$$ 分开计算： $$\int_0^{2\pi} \pi \cos(nx) \, dx = \pi \cdot \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^{2\pi} = 0$$ 另一部分用分部积分：令 $u=x$，$dv=\cos(nx)dx$，则 $du=dx$，$v=\frac{\sin(nx)}{n}$： $$\int x \cos(nx) \, dx = \frac{x \sin(nx)}{n} + \frac{\cos(nx)}{n^2}$$ 代入上下限：$x=2\pi$ 时值为 $\frac{1}{n^2}$，$x=0$ 时值为 $\frac{1}{n^2}$，差为 $0$。 因此 $a_n = 0$。

代入公式： $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\pi-x}{2} \sin(nx) \, dx = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (\pi - x) \sin(nx) \, dx$$ 先算 $\int_0^{2\pi} \pi \sin(nx) \, dx = \pi \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^{2\pi} = -\frac{\pi}{n}(\cos(2n\pi)-\cos 0) = 0$。 另一部分用分部积分：令 $u=x$，$dv=\sin(nx)dx$，则 $du=dx$，$v=-\frac{\cos(nx)}{n}$： $$\int x \sin(nx) \, dx = -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}$$ 代入上下限：$x=2\pi$ 时值为 $-\frac{2\pi}{n}$，$x=0$ 时值为 $0$，差为 $-\frac{2\pi}{n}$。 因此 $\int_0^{2\pi} (\pi - x) \sin(nx) \, dx = 0 - \left(-\frac{2\pi}{n}\right) = \frac{2\pi}{n}$。 所以 $b_n = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{2\pi}{n} = \frac{1}{n}$。

由于 $a_0=0$，$a_n=0$，$b_n=\frac{1}{n}$，代入级数公式得： $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n}, \quad x \in (0, 2\pi)$$ 在端点处级数收敛到函数平均值，但题目只要求在开区间内展开，此结果已足够。

给定 $f = \ln \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \frac12 \ln(x^2+y^2+z^2)$。 求偏导： $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac12 \cdot \frac{2x}{x^2+y^2+z^2} = \frac{x}{x^2+y^2+z^2}$$ 同理： $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{x^2+y^2+z^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{z}{x^2+y^2+z^2}$$ 因此梯度为： $$\operatorname{grad} f = \left( \frac{x}{r^2}, \frac{y}{r^2}, \frac{z}{r^2} \right), \quad r^2 = x^2+y^2+z^2$$

散度公式： $$\operatorname{div}(\operatorname{grad} f) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{x}{r^2} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{y}{r^2} \right) + \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{z}{r^2} \right)$$ 先计算第一项（使用商法则或乘积法则）： $$\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{x}{r^2} \right) = \frac{1 \cdot r^2 - x \cdot 2x}{r^4} = \frac{r^2 - 2x^2}{r^4}$$ 同理： $$\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{y}{r^2} \right) = \frac{r^2 - 2y^2}{r^4}, \quad \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{z}{r^2} \right) = \frac{r^2 - 2z^2}{r^4}$$ 三项相加： $$\frac{3r^2 - 2(x^2+y^2+z^2)}{r^4} = \frac{3r^2 - 2r^2}{r^4} = \frac{r^2}{r^4} = \frac{1}{r^2}$$