广西民族大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
一、求下列极限（每小题 10 分，共 2 小题，共 20 分）
（1）设 $\displaystyle |x|<1$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right) \cdots\left(1+x^{2^{n}}\right)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造乘积并利用平方差公式化简
设 $P_n = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^n})$，考虑乘以 $(1-x)$，得 $(1-x)P_n = (1-x)(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n})$。利用平方差公式 $(1-x)(1+x)=1-x^2$，逐步化简：$(1-x)P_n = (1-x^2)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^n}) = (1-x^4)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^n})$，重复此过程，最终得到 $(1-x)P_n = 1 - x^{2^{n+1}}$。
公式：(1-x)P_n = 1 - x^{2^{n+1}}
提示：注意每次使用平方差公式时，指数会翻倍，最终指数为 $2^{n+1}$。
步骤 2/5
目标：求解极限
由 $(1-x)P_n = 1 - x^{2^{n+1}}$，得 $P_n = \frac{1 - x^{2^{n+1}}}{1-x}$。当 $|x|<1$ 时，$n\to\infty$，$x^{2^{n+1}} \to 0$，因此 $\lim_{n\to\infty} P_n = \frac{1}{1-x}$。
公式：\lim_{n\to\infty} P_n = \frac{1}{1-x}
提示：注意条件 $|x|<1$ 保证了 $x^{2^{n+1}}\to 0$。
步骤 3/5
目标：第二题：通分处理
求 $\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1}\right)$。通分得：$\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1} = \frac{x-1 - \ln x}{(x-1)\ln x}$。
公式：\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1} = \frac{x-1 - \ln x}{(x-1)\ln x}
提示：当 $x\to 1$ 时，$\ln x \sim x-1$，直接代入会得到 $\infty-\infty$ 型，需通分。
步骤 4/5
目标：变量替换并展开泰勒公式
令 $t = x-1$，则 $t\to 0$，$\ln x = \ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots$。分子：$x-1 - \ln x = t - (t - \frac{t^2}{2} + O(t^3)) = \frac{t^2}{2} + O(t^3)$。分母：$(x-1)\ln x = t(t - \frac{t^2}{2} + O(t^3)) = t^2 - \frac{t^3}{2} + O(t^4)$。
公式：x-1-\ln x = \frac{t^2}{2} + O(t^3), \quad (x-1)\ln x = t^2 - \frac{t^3}{2} + O(t^4)
提示：泰勒展开时注意保留到 $t^2$ 项，因为分子分母最低阶均为 $t^2$。
步骤 5/5
目标：求极限
代入得 $\frac{x-1-\ln x}{(x-1)\ln x} = \frac{\frac{t^2}{2} + O(t^3)}{t^2 - \frac{t^3}{2} + O(t^4)} = \frac{\frac12 + O(t)}{1 - \frac{t}{2} + O(t^2)}$。当 $t\to 0$ 时，极限为 $\frac12$。
公式：\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1}\right) = \frac12
提示：注意 $O(t)$ 和 $O(t^2)$ 在 $t\to 0$ 时趋于0，不影响极限值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。