📝 广西民族大学 2012年数学分析真题

一、求下列极限（每小题 10 分，共 2 小题，共 20 分）
（1）设 $\displaystyle |x|<1$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right) \cdots\left(1+x^{2^{n}}\right)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)$ ．

七、（15 分）计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} d y$ ，其中 $L$ 为沿椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的逆时针方向。

三、（ 15 分）试证曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}(a>0)$ 在任一点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x_{0}>0, y_{0}>0, z_{0}>0\right)$ 的切平面在三坐标轴上的截距之和为常数．

九、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ ．
证明：$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

二、（10 分）求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,2)$ 内可导：$\displaystyle f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & 0 \leq x \leq 1, \\ a x+b & 1 \leq x \leq 2 .\end{cases}$

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，求证． $\displaystyle \int_{0}^{2 a} f(x) d x=\int_{0}^{a}[f(x)+f(2 a-x)] d x$ ．并利用此式计算 $\displaystyle \int_{0}^{2 a} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ ．

八、（15 分））设 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 2 的函数．定义为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x<1, \\ 0, & 1 \leq x \leq 2 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f(x)$的 Fourier 展开式，并利用此结果证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．

六、计算 k 列积分（每小题 15 分，共 2 小题，共 30 分）
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) d x$ ，共中 $\displaystyle f(0)=1, f(2)=5, f^{\prime}(2)=5$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} d x \int_{x}^{1} e^{-y^{2}} d y$ ．

四、（15 分）证明不等式 $\displaystyle 2 e^{-\frac{1}{4}} \leq \int_{0}^{2} e^{x^{2}-x} d x \leq 2 e^{2}$ ．