广西民族大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，求证． $\displaystyle \int_{0}^{2 a} f(x) d x=\int_{0}^{a}[f(x)+f(2 a-x)] d x$ ．并利用此式计算 $\displaystyle \int_{0}^{2 a} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明积分恒等式：∫₀²ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ [f(x) + f(2a-x)] dx
将区间 [0, 2a] 拆分为 [0, a] 和 [a, 2a]，即：
\[ \int_{0}^{2a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(x) \, dx + \int_{a}^{2a} f(x) \, dx \]
对第二项作变量代换：令 \( t = 2a - x \)，则当 \( x = a \) 时 \( t = a \)，当 \( x = 2a \) 时 \( t = 0 \)，且 \( dx = -dt \)，于是：
\[ \int_{a}^{2a} f(x) \, dx = \int_{a}^{0} f(2a - t) \, (-dt) = \int_{0}^{a} f(2a - t) \, dt \]
将变量名 \( t \) 换回 \( x \)，得：
\[ \int_{a}^{2a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(2a - x) \, dx \]
代入原式即得：
\[ \int_{0}^{2a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(2a - x) \, dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(2a - x)] \, dx \]
公式：\int_{0}^{2a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(2a - x)] \, dx
提示：注意换元时积分限的变化，以及 dx 与 dt 的符号关系，避免符号错误。
步骤 2/5
目标：将恒等式应用于具体积分，并取 a = π 简化计算
设 \( f(x) = \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \)，则待求积分为：
\[ I = \int_{0}^{2a} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx \]
由恒等式得：
\[ I = \int_{0}^{a} \left[ \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} + \frac{(2a - x) \sin(2a - x)}{1 + \cos^2(2a - x)} \right] dx \]
取 \( a = \pi \)，利用三角恒等式：
\[ \sin(2\pi - x) = -\sin x, \quad \cos(2\pi - x) = \cos x \]
代入得：
\[ I = \int_{0}^{\pi} \left[ \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} - \frac{(2\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} \right] dx = \int_{0}^{\pi} \frac{(2x - 2\pi) \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx \]
即：
\[ I = 2 \int_{0}^{\pi} \frac{(x - \pi) \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx \]
公式：I = 2 \int_{0}^{\pi} \frac{(x - \pi) \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx
提示：选择 a = π 是因为此时 sin(2a-x) 和 cos(2a-x) 能简化为 -sin x 和 cos x，从而化简被积函数。
步骤 3/5
目标：利用对称性建立方程求解积分
记 \( J = \int_{0}^{\pi} \frac{(x - \pi) \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx \)，则 \( I = 2J \)。
对 \( J \) 作变量代换 \( u = \pi - x \)，则 \( x = \pi - u \), \( dx = -du \)，当 \( x=0 \) 时 \( u=\pi \)，当 \( x=\pi \) 时 \( u=0 \)，代入得：
\[ J = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - u - \pi) \sin(\pi - u)}{1 + \cos^2(\pi - u)} \, (-du) = \int_{0}^{\pi} \frac{(-u) \sin u}{1 + \cos^2 u} \, du = -\int_{0}^{\pi} \frac{u \sin u}{1 + \cos^2 u} \, du \]
记 \( K = \int_{0}^{\pi} \frac{u \sin u}{1 + \cos^2 u} \, du \)，则 \( J = -K \)。
另一方面，直接展开 \( J \)：
\[ J = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx - \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx = K - \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx \]
由 \( J = -K \) 得：
\[ -K = K - \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx \]
解得：
\[ K = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx \]
公式：K = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx
提示：对称性代换 u = π - x 是处理含 x 与三角函数乘积积分的常用技巧，注意 sin(π-u) = sin u，cos(π-u) = -cos u，平方后不变。
步骤 4/5
目标：计算辅助积分 ∫₀^π sin x / (1 + cos² x) dx
计算 \( \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx \)。
令 \( t = \cos x \)，则 \( dt = -\sin x \, dx \)，当 \( x=0 \) 时 \( t=1 \)，当 \( x=\pi \) 时 \( t=-1 \)，于是：
\[ \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx = \int_{1}^{-1} \frac{-dt}{1 + t^2} = \int_{-1}^{1} \frac{dt}{1 + t^2} = \left[ \arctan t \right]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} \]
公式：\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx = \frac{\pi}{2}
提示：换元时注意积分限的变化和符号处理，arctan(1)=π/4，arctan(-1)=-π/4。
步骤 5/5
目标：回代得到最终结果
由上一步得 \( \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx = \frac{\pi}{2} \)，代入 \( K \) 的表达式：
\[ K = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} \]
于是 \( J = -K = -\frac{\pi^2}{4} \)，则原积分：
\[ I = 2J = 2 \cdot \left(-\frac{\pi^2}{4}\right) = -\frac{\pi^2}{2} \]
因此：
\[ \boxed{-\frac{\pi^{2}}{2}} \]
公式：I = -\frac{\pi^2}{2}
提示：注意符号：J = -K，I = 2J，最终结果为负值，计算时需仔细检查每一步的符号。
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