广西民族大学 2012年数学分析第0题

积分表达式为 $I=\oint_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} dx+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} dy$，其中 $L$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，逆时针方向。记 $P = \frac{x-y}{x^2+y^2}$，$Q = \frac{x+y}{x^2+y^2}$，它们在除了原点 $(0,0)$ 之外的地方都连续可微。

计算 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}$： $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{(-1)(x^2+y^2) - (x-y)(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2 - 2xy + y^2}{(x^2+y^2)^2}$ $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1\cdot (x^2+y^2) - (x+y)(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2 - 2xy + y^2}{(x^2+y^2)^2}$ 两者相等，所以在除去原点的区域，该向量场是保守场（无旋）。

椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，显然原点 $(0,0)$ 满足 $\frac{0}{a^2}+\frac{0}{b^2}=0<1$，因此原点在椭圆内部。不能直接在椭圆内部用格林公式，因为被积函数在原点无定义。

取一个很小的圆 $C_\varepsilon$：$x^2+y^2 = \varepsilon^2$，方向取顺时针（这样与L围成的区域内部不含奇点）。记L与$C_\varepsilon$之间的区域为D，则根据格林公式，在D上 $\oint_{L} (Pdx+Qdy) + \oint_{C_\varepsilon \text{ (顺时针)}} (Pdx+Qdy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = 0$ 于是 $\oint_{L} (Pdx+Qdy) = -\oint_{C_\varepsilon \text{ (顺时针)}} (Pdx+Qdy) = \oint_{C_\varepsilon \text{ (逆时针)}} (Pdx+Qdy)$

在圆 $x^2+y^2=\varepsilon^2$ 上，采用参数化：$x = \varepsilon\cos\theta,\ y = \varepsilon\sin\theta$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 逆时针。则 $dx = -\varepsilon\sin\theta\, d\theta,\quad dy = \varepsilon\cos\theta\, d\theta$。 被积函数中： $\frac{x-y}{x^2+y^2} = \frac{\varepsilon(\cos\theta - \sin\theta)}{\varepsilon^2} = \frac{\cos\theta - \sin\theta}{\varepsilon}$ $\frac{x+y}{x^2+y^2} = \frac{\varepsilon(\cos\theta + \sin\theta)}{\varepsilon^2} = \frac{\cos\theta + \sin\theta}{\varepsilon}$ 于是 $Pdx+Qdy = \frac{\cos\theta - \sin\theta}{\varepsilon} (-\varepsilon\sin\theta\, d\theta) + \frac{\cos\theta + \sin\theta}{\varepsilon} (\varepsilon\cos\theta\, d\theta)$ 化简得：$(-\cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta) d\theta + (\cos^2\theta + \sin\theta\cos\theta) d\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta) d\theta = d\theta$ 因此 $I = \int_0^{2\pi} 1\, d\theta = 2\pi$

积分值与椭圆的具体形状（a,b）无关，只取决于绕原点的圈数（这里是逆时针一圈），结果为 $2\pi$。