广西民族大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
三、（ 15 分）试证曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}(a>0)$ 在任一点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x_{0}>0, y_{0}>0, z_{0}>0\right)$ 的切平面在三坐标轴上的截距之和为常数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出曲面方程并计算梯度，得到法向量
将曲面方程改写为隐函数形式：$F(x, y, z) = \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} - \sqrt{a} = 0$。计算偏导数：$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$，$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{y}}$，$\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{1}{2\sqrt{z}}$。在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处，法向量为 $\left( \frac{1}{2\sqrt{x_0}}, \frac{1}{2\sqrt{y_0}}, \frac{1}{2\sqrt{z_0}} \right)$，忽略常数因子 $\frac{1}{2}$，取方向为 $\left( \frac{1}{\sqrt{x_0}}, \frac{1}{\sqrt{y_0}}, \frac{1}{\sqrt{z_0}} \right)$。
公式：\nabla F = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{1}{2\sqrt{y}}, \frac{1}{2\sqrt{z}} \right)
提示：注意梯度向量是法向量，可以忽略非零常数因子简化计算。
步骤 2/5
目标：写出切平面方程
利用点法式写出切平面方程：$\frac{1}{\sqrt{x_0}}(x - x_0) + \frac{1}{\sqrt{y_0}}(y - y_0) + \frac{1}{\sqrt{z_0}}(z - z_0) = 0$。整理得：$\frac{x}{\sqrt{x_0}} + \frac{y}{\sqrt{y_0}} + \frac{z}{\sqrt{z_0}} = \frac{x_0}{\sqrt{x_0}} + \frac{y_0}{\sqrt{y_0}} + \frac{z_0}{\sqrt{z_0}}$。化简右边：$\frac{x_0}{\sqrt{x_0}} = \sqrt{x_0}$，同理得 $\sqrt{y_0}$ 和 $\sqrt{z_0}$。由于点在曲面上，有 $\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0} = \sqrt{a}$，因此切平面方程为：$\frac{x}{\sqrt{x_0}} + \frac{y}{\sqrt{y_0}} + \frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{a}$。
公式：\frac{x}{\sqrt{x_0}} + \frac{y}{\sqrt{y_0}} + \frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{a}
提示：化简右边时注意 $\frac{x_0}{\sqrt{x_0}} = \sqrt{x_0}$，并利用曲面方程代入。
步骤 3/5
目标：求切平面在三坐标轴上的截距
在 x 轴上的截距：令 $y=0, z=0$，得 $\frac{x}{\sqrt{x_0}} = \sqrt{a}$，解得 $x = \sqrt{a}\sqrt{x_0}$。在 y 轴上的截距：令 $x=0, z=0$，得 $y = \sqrt{a}\sqrt{y_0}$。在 z 轴上的截距：令 $x=0, y=0$，得 $z = \sqrt{a}\sqrt{z_0}$。
公式：x_{\text{截距}} = \sqrt{a}\sqrt{x_0}, \quad y_{\text{截距}} = \sqrt{a}\sqrt{y_0}, \quad z_{\text{截距}} = \sqrt{a}\sqrt{z_0}
提示：求截距时分别令另外两个变量为0，注意截距是坐标值，可能为正数。
步骤 4/5
目标：计算截距之和并证明为常数
三个截距之和为：$\sqrt{a}\sqrt{x_0} + \sqrt{a}\sqrt{y_0} + \sqrt{a}\sqrt{z_0} = \sqrt{a}(\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0})$。由曲面方程 $\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0} = \sqrt{a}$，代入得：截距之和 $= \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$。这是一个与点 $(x_0, y_0, z_0)$ 无关的常数。
公式：\text{截距之和} = \sqrt{a}(\sqrt{x_0} + \sqrt{y_0} + \sqrt{z_0}) = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a
提示：注意利用曲面方程进行代换，最终结果仅依赖于常数 $a$。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，对于曲面上任意一点，其切平面在三坐标轴上的截距之和恒等于常数 $a$，命题得证。
公式：\text{截距之和} = a
提示：结论应与点坐标无关，体现常数性质。
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