广西民族大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
二、（10 分）求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,2)$ 内可导：$\displaystyle f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & 0 \leq x \leq 1, \\ a x+b & 1 \leq x \leq 2 .\end{cases}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定连续性条件
函数在 $[0,2]$ 上连续，只需在分段点 $x=1$ 处连续。计算左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 - 1 = 0$；右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = a \cdot 1 + b = a + b$。由连续性得 $a + b = 0$。
公式：a + b = 0
提示：注意分段函数在分段点处，左极限和右极限必须相等且等于函数值。
步骤 2/4
目标：确定可导性条件
函数在 $(0,2)$ 内可导，只需在 $x=1$ 处左导数等于右导数。左导数：$f'_-(1) = \left. 2x \right|_{x=1} = 2$；右导数：$f'_+(1) = a$。由可导性得 $a = 2$。
公式：a = 2
提示：可导性要求左右导数相等，注意分段函数在分段点处的导数需分别从两侧计算。
步骤 3/4
目标：解出参数 a 和 b
由可导条件 $a = 2$，代入连续性条件 $a + b = 0$，得 $2 + b = 0$，解得 $b = -2$。
公式：b = -2
提示：代入时注意符号，避免计算错误。
步骤 4/4
目标：验证结果
将 $a=2, b=-2$ 代入原函数：$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & 0 \le x \le 1, \\ 2x - 2, & 1 \le x \le 2 \end{cases}$。在 $x=1$ 处，左值为 $0$，右值为 $2\times1-2=0$，连续；左导数为 $2$，右导数为 $2$，可导。其他点显然连续可导，满足条件。
提示：验证是确保解答正确的重要步骤，尤其注意分段点处的函数值和导数值。
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