广西民族大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）证明不等式 $\displaystyle 2 e^{-\frac{1}{4}} \leq \int_{0}^{2} e^{x^{2}-x} d x \leq 2 e^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数的指数部分在区间上的最值
考虑二次函数 $g(x) = x^2 - x$，其开口向上，对称轴为 $x = \frac{1}{2}$，在区间 $[0,2]$ 内。计算端点与对称轴处的值：$g(0)=0$，$g(2)=2$，$g(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$。因此 $g(x)$ 在 $[0,2]$ 上的最小值为 $-\frac{1}{4}$，最大值为 $2$。
公式：g(x) = x^2 - x, \quad \min_{[0,2]} g(x) = -\frac{1}{4}, \quad \max_{[0,2]} g(x) = 2
提示：注意二次函数在闭区间上的最值可能出现在端点或对称轴处，需要全部比较。
步骤 2/5
目标：利用指数函数的单调性得到被积函数的上下界
由于指数函数 $e^t$ 是单调递增的，由 $g(x) \geq -\frac{1}{4}$ 得 $e^{x^2-x} \geq e^{-1/4}$；由 $g(x) \leq 2$ 得 $e^{x^2-x} \leq e^2$。因此对任意 $x \in [0,2]$ 有 $e^{-1/4} \leq e^{x^2-x} \leq e^2$。
公式：e^{-1/4} \leq e^{x^2-x} \leq e^2, \quad x \in [0,2]
提示：指数函数的单调性方向不变，注意不等号方向。
步骤 3/5
目标：对不等式在区间上积分
对上述不等式在 $[0,2]$ 上积分：$\int_0^2 e^{-1/4} \, dx \leq \int_0^2 e^{x^2-x} \, dx \leq \int_0^2 e^2 \, dx$。
公式：\int_0^2 e^{-1/4} \, dx \leq \int_0^2 e^{x^2-x} \, dx \leq \int_0^2 e^2 \, dx
提示：积分保持不等号方向，因为积分区间长度为正。
步骤 4/5
目标：计算左右两边的积分值
左边积分：$\int_0^2 e^{-1/4} \, dx = e^{-1/4} \cdot (2-0) = 2e^{-1/4}$。右边积分：$\int_0^2 e^2 \, dx = e^2 \cdot 2 = 2e^2$。
公式：\int_0^2 e^{-1/4} \, dx = 2e^{-1/4}, \quad \int_0^2 e^2 \, dx = 2e^2
提示：常数的积分等于常数乘以区间长度。
步骤 5/5
目标：得出最终不等式
综合以上结果，得到 $2e^{-1/4} \leq \int_0^2 e^{x^2-x} \, dx \leq 2e^2$，即原不等式得证。
公式：2e^{-1/4} \leq \int_0^2 e^{x^2-x} \, dx \leq 2e^2
提示：检查不等号方向是否与题目一致。
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