广西民族大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
六、计算 k 列积分（每小题 15 分，共 2 小题，共 30 分）
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) d x$ ，共中 $\displaystyle f(0)=1, f(2)=5, f^{\prime}(2)=5$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} d x \int_{x}^{1} e^{-y^{2}} d y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：对第一题进行变量替换，简化积分形式
令 $t = 2x$，则 $x = \frac{t}{2}$，$dx = \frac{dt}{2}$。当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x=1$ 时 $t=2$。原积分化为：
$$I = \int_{0}^{1} x f''(2x) \, dx = \int_{0}^{2} \frac{t}{2} f''(t) \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} t f''(t) \, dt$$
公式：$I = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} t f''(t) \, dt$
提示：注意换元时积分限和微分元的对应关系，不要遗漏系数 $\frac{1}{4}$。
步骤 2/7
目标：对第一题应用分部积分法
令 $u = t$，$dv = f''(t) \, dt$，则 $du = dt$，$v = f'(t)$。分部积分得：
$$\int_{0}^{2} t f''(t) \, dt = \left[ t f'(t) \right]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} f'(t) \, dt$$
计算边界项：$t=2$ 时，$2 f'(2) = 2 \times 5 = 10$；$t=0$ 时，该项为 $0$。所以边界项为 $10$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：分部积分时，要正确选择 $u$ 和 $dv$，并准确代入已知的函数值。
步骤 3/7
目标：计算第一题中剩余的积分并得出结果
计算 $\int_{0}^{2} f'(t) \, dt = f(2) - f(0) = 5 - 1 = 4$。因此：
$$\int_{0}^{2} t f''(t) \, dt = 10 - 4 = 6$$
代回得：
$$I = \frac{1}{4} \times 6 = \frac{3}{2}$$
公式：$\int_{a}^{b} f'(t) \, dt = f(b) - f(a)$
提示：注意 $f(0)$ 和 $f(2)$ 是已知条件，不要混淆。
步骤 4/7
目标：对第二题交换积分次序
原积分为 $J = \int_{0}^{1} x^{2} \, dx \int_{x}^{1} e^{-y^{2}} \, dy$，积分区域由 $0 \le x \le 1$，$x \le y \le 1$ 描述。交换次序后，区域等价于 $0 \le y \le 1$，$0 \le x \le y$，因此：
$$J = \int_{0}^{1} e^{-y^{2}} \, dy \int_{0}^{y} x^{2} \, dx$$
公式：$\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} f(x,y) \, dy \, dx = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} f(x,y) \, dx \, dy$
提示：画图确定积分区域是交换积分次序的关键，注意 $x$ 和 $y$ 的上下限变化。
步骤 5/7
目标：计算第二题中内层积分并化简
先计算内层积分：$\int_{0}^{y} x^{2} \, dx = \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{y} = \frac{y^{3}}{3}$。代入得：
$$J = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} y^{3} e^{-y^{2}} \, dy$$
公式：$\int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
提示：内层积分结果是一个关于 $y$ 的函数，不要忘记系数 $\frac{1}{3}$。
步骤 6/7
目标：对第二题中的积分进行变量替换
令 $t = y^{2}$，则 $dt = 2y \, dy$，即 $y \, dy = \frac{dt}{2}$，且 $y^{3} = y^{2} \cdot y = t \cdot y$。当 $y=0$ 时 $t=0$，当 $y=1$ 时 $t=1$。积分化为：
$$\int_{0}^{1} y^{3} e^{-y^{2}} \, dy = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t e^{-t} \, dt$$
公式：$y^{3} e^{-y^{2}} \, dy = \frac{1}{2} t e^{-t} \, dt$
提示：换元时注意 $y^{3}$ 的分解和微分元的对应关系，避免系数错误。
步骤 7/7
目标：计算第二题中最终的积分并得出结果
使用分部积分计算 $\int_{0}^{1} t e^{-t} \, dt$：
令 $u = t$，$dv = e^{-t} \, dt$，则 $du = dt$，$v = -e^{-t}$。
$$\int t e^{-t} \, dt = -t e^{-t} - e^{-t} + C$$
代入上下限：
$$\int_{0}^{1} t e^{-t} \, dt = \left[ -t e^{-t} - e^{-t} \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} \right) - (0 - 1) = 1 - \frac{2}{e}$$
因此：
$$\int_{0}^{1} y^{3} e^{-y^{2}} \, dy = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{2}{e}\right)$$
最终：
$$J = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \left(1 - \frac{2}{e}\right) = \frac{1}{6} \left(1 - \frac{2}{e}\right)$$
公式：$\int t e^{-t} \, dt = -e^{-t}(t+1) + C$
提示：分部积分时注意符号，代入上下限时要小心计算。
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