广西民族大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
九、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ ．
证明：$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件
已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，使得当 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$ 且 $|x_1-x_2|<\delta_1$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。又知 $\varphi(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>a$，使得当 $x>M$ 时，$|f(x)-\varphi(x)|<\varepsilon$。
公式：\lim_{x\to+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0
提示：注意区分一致连续与逐点连续的定义，以及极限条件中 $M$ 的选取依赖于 $\varepsilon$。
步骤 2/7
目标：确定证明思路
将区间 $[a,+\infty)$ 分为有限部分 $[a,M+1]$ 和无穷部分 $[M,+\infty)$。在有限闭区间上，$\varphi$ 连续则一致连续；在无穷部分，利用 $f$ 的一致连续性和 $\varphi$ 与 $f$ 的接近性来控制 $\varphi$ 的差值。最后通过选取统一的 $\delta$ 并分情况讨论完成证明。
公式：\delta = \min\{\delta_1,\delta_2,1\}
提示：选择 $M+1$ 而非 $M$ 是为了处理一个点在 $[a,M]$ 另一个点在 $(M,+\infty)$ 的情况。
步骤 3/7
目标：利用极限条件选取 $M$
对任意给定的 $\varepsilon>0$，由 $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$，存在 $M>a$，使得当 $x>M$ 时，有 $|f(x)-\varphi(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：|f(x)-\varphi(x)|<\frac{\varepsilon}{3},\quad \forall x>M
提示：这里取 $\frac{\varepsilon}{3}$ 是为了后续三角不等式求和后得到 $\varepsilon$。
步骤 4/7
目标：利用 $f$ 的一致连续性选取 $\delta_1$
由 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，存在 $\delta_1>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_1$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3},\quad \forall |x_1-x_2|<\delta_1
提示：一致连续给出的 $\delta_1$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于点的位置。
步骤 5/7
目标：利用 $\varphi$ 在闭区间上的连续性选取 $\delta_2$
考虑闭区间 $[a,M+1]$，$\varphi$ 在此区间上连续，因此一致连续。存在 $\delta_2>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,M+1]$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_2$，就有 $|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|<\varepsilon$。
公式：|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|<\varepsilon,\quad \forall x_1,x_2\in[a,M+1],\ |x_1-x_2|<\delta_2
提示：闭区间上连续函数必一致连续，这是经典结论。
步骤 6/7
目标：统一选取 $\delta$ 并分情况讨论
取 $\delta = \min\{\delta_1,\delta_2,1\}$。任取 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$ 且 $|x_1-x_2|<\delta$，分三种情况：
1. 若 $x_1,x_2\in[a,M+1]$，则由 $\delta_2$ 的选取得 $|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|<\varepsilon$。
2. 若 $x_1,x_2>M$，则 $|x_1-x_2|<\delta\le\delta_1$，于是
$$|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|\le|\varphi(x_1)-f(x_1)|+|f(x_1)-f(x_2)|+|f(x_2)-\varphi(x_2)|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.$$
3. 若一个点 $\le M$，另一个点 $>M$，由于 $\delta\le1$，较大的点不超过 $M+1$，因此两点都在 $[a,M+1]$ 内，归入情况1。
公式：|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|<\varepsilon
提示：情况3中 $\delta\le1$ 保证了跨过 $M$ 的两点不会超出 $M+1$，从而仍可用闭区间上的一致连续性。
步骤 7/7
目标：得出结论
由以上分情况讨论，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|<\varepsilon$。因此 $\varphi(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
提示：证明的关键在于将无穷区间上的问题转化为有限闭区间和无穷远邻域的组合处理。
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