广西民族大学 2012年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分））设 $\displaystyle f(x)$ 是周期为 2 的函数．定义为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x<1, \\ 0, & 1 \leq x \leq 2 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f(x)$的 Fourier 展开式，并利用此结果证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确函数定义与周期，写出傅里叶级数形式
函数 $f(x)$ 周期为 $2$，在一个周期 $[0,2]$ 上定义为 $f(x)=\begin{cases} x, & 0 \le x<1, \\ 0, & 1 \le x \le 2. \end{cases}$ 角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi$，傅里叶级数形式为 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n\pi x) + b_n \sin(n\pi x) \right)$。
公式：f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n\pi x) + b_n \sin(n\pi x) \right)
提示：注意周期 $T=2$，因此积分公式中系数为 $\frac{2}{T}=1$，即 $a_n = \int_0^2 f(x) \cos(n\pi x) dx$，$b_n = \int_0^2 f(x) \sin(n\pi x) dx$。
步骤 2/7
目标：计算傅里叶系数 $a_0$
$a_0 = \frac{2}{T}\int_0^T f(x) dx = \int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 x dx + \int_1^2 0 dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$。
公式：a_0 = \frac{1}{2}
提示：注意 $a_0$ 是常数项的两倍，级数中常数项为 $\frac{a_0}{2} = \frac{1}{4}$。
步骤 3/7
目标：计算傅里叶系数 $a_n$（$n \ge 1$）
$a_n = \int_0^1 x \cos(n\pi x) dx$。使用分部积分，令 $u=x$，$dv=\cos(n\pi x)dx$，得 $du=dx$，$v=\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}$。则 $\int_0^1 x \cos(n\pi x) dx = \left[ x \cdot \frac{\sin(n\pi x)}{n\pi} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{\sin(n\pi x)}{n\pi} dx = 0 - \frac{1}{n\pi} \left[ -\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi} \right]_0^1 = \frac{\cos(n\pi)-1}{n^2\pi^2} = \frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}$。
公式：a_n = \frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}
提示：当 $n$ 为偶数时 $a_n=0$，只有奇数项非零，此时 $(-1)^n=-1$，$a_n = -\frac{2}{n^2\pi^2}$。
步骤 4/7
目标：计算傅里叶系数 $b_n$
$b_n = \int_0^1 x \sin(n\pi x) dx$。分部积分，令 $u=x$，$dv=\sin(n\pi x)dx$，得 $du=dx$，$v=-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}$。则 $\int_0^1 x \sin(n\pi x) dx = \left[ -x \frac{\cos(n\pi x)}{n\pi} \right]_0^1 + \int_0^1 \frac{\cos(n\pi x)}{n\pi} dx = -\frac{\cos(n\pi)}{n\pi} + \frac{1}{n\pi} \left[ \frac{\sin(n\pi x)}{n\pi} \right]_0^1 = -\frac{(-1)^n}{n\pi}$。
公式：b_n = -\frac{(-1)^n}{n\pi}
提示：注意 $\sin(n\pi)=0$，所以第二项积分为零。
步骤 5/7
目标：写出傅里叶级数展开式
将系数代入：$f(x) = \frac{1}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2} \cos(n\pi x) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n\pi} \sin(n\pi x)$。由于偶数 $n$ 时 $(-1)^n-1=0$，令 $n=2k+1$，则 $(-1)^n=-1$，$(-1)^n-1=-2$，得 $f(x) = \frac{1}{4} - \frac{2}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^2} - \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \sin(n\pi x)$。
公式：f(x) = \frac{1}{4} - \frac{2}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^2} - \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \sin(n\pi x)
提示：注意在 $x=0$ 处，$\sin$ 项为零，$\cos$ 项为 $1$，可简化求和。
步骤 6/7
目标：利用 $x=0$ 证明第一个级数和
在 $x=0$ 处，函数连续且 $f(0)=0$，代入傅里叶级数：$0 = \frac{1}{4} - \frac{2}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} - 0$，移项得 $\frac{2}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{1}{4}$，所以 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$。
公式：\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}
提示：注意 $x=0$ 是连续点，傅里叶级数收敛到函数值。
步骤 7/7
目标：利用奇偶分解证明第二个级数和
设 $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，则 $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^2} = \frac{\pi^2}{8} + \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{8} + \frac{1}{4}S$。移项得 $S - \frac{1}{4}S = \frac{3}{4}S = \frac{\pi^2}{8}$，解得 $S = \frac{\pi^2}{6}$。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
提示：注意偶数项 $\frac{1}{(2k)^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{k^2}$，求和时 $k$ 从 $1$ 开始。
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