广西民族大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）设平面 $\displaystyle x+y+z=3$ 截三坐标轴于 $\displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三点， O 为坐标原点，$\displaystyle P(x, y, z)$ 为三角形 ABC上一点，以 OP 为对角线，三坐标平面为三面作一长方体，求最大体积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定平面与坐标轴的交点及点P的约束条件
平面方程为 $x + y + z = 3$。令 $y=0, z=0$ 得 $x=3$，即 $A(3,0,0)$；令 $x=0, z=0$ 得 $y=3$，即 $B(0,3,0)$；令 $x=0, y=0$ 得 $z=3$，即 $C(0,0,3)$。点 $P(x, y, z)$ 在三角形 $ABC$ 上，因此满足 $x + y + z = 3$，且 $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$。
公式：x + y + z = 3, \quad x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0
提示：注意三角形ABC位于第一卦限，因此坐标非负。
步骤 2/5
目标：理解长方体的几何构造并建立体积表达式
以 $OP$ 为对角线，三坐标平面为三个面作长方体，则长方体一个顶点在原点 $O(0,0,0)$，对角顶点在 $P(x, y, z)$，三条边分别平行于 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，长度分别为 $x$、$y$、$z$。因此长方体的体积为 $V = x \cdot y \cdot z$。
公式：V = xyz
提示：确保理解长方体顶点与坐标轴的关系，避免混淆边长。
步骤 3/5
目标：转化为条件极值问题
问题转化为在约束条件 $x + y + z = 3$，$x > 0, y > 0, z > 0$ 下，求函数 $V = xyz$ 的最大值。这是一个典型的对称条件极值问题。
公式：\max_{x+y+z=3, x,y,z>0} xyz
提示：由于体积为正，考虑内部点即可，边界点体积为零。
步骤 4/5
目标：应用均值不等式求解最大值
由算术-几何平均不等式：$\frac{x + y + z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$。代入 $x+y+z=3$ 得 $\frac{3}{3} = 1 \ge \sqrt[3]{xyz}$，即 $xyz \le 1$。等号成立当且仅当 $x = y = z$。结合 $x+y+z=3$ 解得 $x = y = z = 1$。
公式：\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \le 1
提示：均值不等式取等条件为各数相等，这是关键。
步骤 5/5
目标：验证点P的位置并给出最终答案
点 $(1,1,1)$ 满足 $x+y+z=3$ 且 $x,y,z>0$，位于三角形 $ABC$ 内部，符合题意。因此最大体积为 $1$。
公式：V_{\max} = 1
提示：检查点是否在三角形内部（非边界），确保解有效。
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