📝 广西民族大学 2015年数学分析真题

1）$\forall n, f_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 连续且有 $f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x) \quad(x \in[a, b])$ ，

2）$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $[a, b]$ 上的连续函数 $s(x)$ ．

证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $s(x)$ ．

三、（15 分）设平面 $\displaystyle x+y+z=3$ 截三坐标轴于 $\displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三点， O 为坐标原点，$\displaystyle P(x, y, z)$ 为三角形 ABC上一点，以 OP 为对角线，三坐标平面为三面作一长方体，求最大体积．

九、（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件：

1）$\displaystyle \forall n, f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续且有 $\displaystyle f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x) \quad(x \in[a, b])$ ，
2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle s(x)$ ．

证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ．

二、（10 分）。求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处可导：$\displaystyle f(x)= \begin{cases}a x+b, & x \geq 0, \\ x^{2}+1, & x<0 .\end{cases}$

五、（ 15 分）用＂$\displaystyle \varepsilon-\delta$＂语言证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-2)(x-1)}{x-3}=0$ ．

八、（15 分）已知 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 发散，求证级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}+1}$ 也发散。

六、计算下列积分（每小题 10 分，共 30 分）
（1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2}\left[e^{x}\right] d x$（注［。］表取整函数）；
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ ．

四、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但偏导数在 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．