广西民族大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
1）$\forall n, f_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 连续且有 $f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x) \quad(x \in[a, b])$ ，
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与待证结论
已知：1) 对每个自然数 $n$，$f_n(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；2) 对任意 $x \in [a,b]$，有 $f_n(x) \le f_{n+1}(x)$（逐点单调递增）。通常还需补充条件：3) 极限函数 $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ 存在且在 $[a,b]$ 上连续。待证：函数列 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$。
公式：f_n(x) \le f_{n+1}(x), \quad \lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)
提示：注意单调递增条件保证极限存在（可能为无穷），但题目中极限函数连续是额外假设，不要遗漏。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数列并转化问题
令 $g_n(x)=f(x)-f_n(x)$，则 $g_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且对每个固定的 $x$，有 $g_n(x)\ge 0$，$g_n(x)\ge g_{n+1}(x)$（单调递减），以及 $\lim_{n\to\infty}g_n(x)=0$。要证明一致收敛，即证：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得对所有 $n\ge N$ 和所有 $x\in[a,b]$，有 $0\le g_n(x)<\varepsilon$。
公式：g_n(x)=f(x)-f_n(x), \quad g_n(x)\ge 0, \quad g_n(x)\searrow 0
提示：将极限函数与函数列的差转化为非负递减趋于0的函数列，便于利用单调性。
步骤 3/5
目标：利用点态收敛构造开覆盖
对任意 $\varepsilon>0$，取定 $x_0\in[a,b]$。由于 $g_n(x_0)\to 0$，存在 $N_{x_0}$ 使得 $g_{N_{x_0}}(x_0)<\varepsilon$。由 $g_{N_{x_0}}$ 的连续性，存在 $\delta_{x_0}>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta_{x_0}$ 时，$g_{N_{x_0}}(x)<\varepsilon$。又因为 $g_n(x)$ 关于 $n$ 单调递减，故对任意 $n\ge N_{x_0}$，在此邻域内也有 $g_n(x)\le g_{N_{x_0}}(x)<\varepsilon$。这样，每个 $x_0$ 对应一个开区间 $(x_0-\delta_{x_0},x_0+\delta_{x_0})$ 和一个指标 $N_{x_0}$。
公式：g_{N_{x_0}}(x_0)<\varepsilon \Rightarrow \exists\delta_{x_0}>0,\forall x\in(x_0-\delta_{x_0},x_0+\delta_{x_0}): g_{N_{x_0}}(x)<\varepsilon
提示：注意这里利用单调性将 $n\ge N_{x_0}$ 的控制归结为 $g_{N_{x_0}}$ 的控制，是证明的关键。
步骤 4/5
目标：应用有限覆盖定理得到一致估计
开区间族 $\{(x_0-\delta_{x_0},x_0+\delta_{x_0})\mid x_0\in[a,b]\}$ 覆盖了闭区间 $[a,b]$。由有限覆盖定理，存在有限个点 $x_1,x_2,\dots,x_k$，使得对应的开区间覆盖整个 $[a,b]$。取 $N=\max\{N_{x_1},N_{x_2},\dots,N_{x_k}\}$。则对任意 $x\in[a,b]$，存在某个 $i$ 使得 $x\in(x_i-\delta_{x_i},x_i+\delta_{x_i})$，于是对任意 $n\ge N$，有 $g_n(x)\le g_{N_{x_i}}(x)<\varepsilon$。由于 $\varepsilon$ 任意，此即一致收敛。
公式：N=\max\{N_{x_1},\dots,N_{x_k}\},\quad \forall n\ge N,\forall x\in[a,b]: g_n(x)<\varepsilon
提示：有限覆盖定理保证只需有限个邻域，从而指标的最大值存在，这是从点态到一致的关键步骤。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，在函数列连续、单调递增且极限函数连续的条件下，函数列 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$。此即狄尼定理（Dini's theorem）在紧区间上的特例。
公式：f_n\rightrightarrows f \quad \text{on }[a,b]
提示：狄尼定理的条件中紧致性和单调性缺一不可，反例可考虑非紧集或非单调情形。
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