广西民族大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
2）$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $[a, b]$ 上的连续函数 $s(x)$ ．
证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $s(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确题目条件与结论
题目给出函数列 $\{f_n(x)\}$ 在闭区间 $[a,b]$ 上处处收敛于连续函数 $s(x)$，要证明 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $s(x)$。但仅凭这两个条件不足以推出一致收敛，需补充单调性条件（如 Dini 定理）。这里假设 $\{f_n(x)\}$ 对每个 $x$ 关于 $n$ 单调递增（递减同理）。
公式：$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=s(x),\quad \forall x\in[a,b]$，且 $s(x)$ 连续。
提示：注意：没有单调性时结论不成立，例如 $f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上收敛到不连续函数，或振荡型反例。
步骤 2/6
目标：定义开集族并利用单调性
对任意给定的 $\varepsilon>0$，定义集合 $E_n = \{ x\in[a,b] : s(x)-f_n(x) < \varepsilon \}$。由于 $f_n$ 单调递增趋于 $s$，有 $E_1\subseteq E_2\subseteq\cdots$，且由逐点收敛知 $\bigcup_{n=1}^\infty E_n = [a,b]$。
公式：$E_n = \{ x\in[a,b] : s(x)-f_n(x) < \varepsilon \}$
提示：单调性保证 $E_n$ 是递增的，这是后续有限覆盖的关键。
步骤 3/6
目标：证明每个 $E_n$ 是开集
因为 $s(x)$ 和 $f_n(x)$ 都是连续函数，所以它们的差 $s(x)-f_n(x)$ 也是连续函数。集合 $E_n$ 是连续函数值小于 $\varepsilon$ 的原像，故为开集（在相对拓扑意义下，$[a,b]$ 上的开集指相对于 $\mathbb{R}$ 的开集与 $[a,b]$ 的交集）。
公式：$s(x)-f_n(x)$ 连续，$E_n = (s-f_n)^{-1}((-\infty,\varepsilon))$ 是开集。
提示：注意区间端点处需考虑相对开集的定义，但有限覆盖定理仍适用。
步骤 4/6
目标：应用有限覆盖定理
$\{E_n\}_{n=1}^\infty$ 构成闭区间 $[a,b]$ 的一个开覆盖。由有限覆盖定理（Heine-Borel），存在有限个 $E_{n_1},E_{n_2},\ldots,E_{n_k}$ 覆盖 $[a,b]$。令 $N=\max\{n_1,n_2,\ldots,n_k\}$，则由 $E_n$ 的递增性，$E_N$ 已覆盖整个区间，即对所有 $x\in[a,b]$ 有 $s(x)-f_N(x)<\varepsilon$。
公式：$\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in[a,b]: s(x)-f_N(x)<\varepsilon$
提示：有限覆盖定理是闭区间上的关键工具，注意 $E_n$ 递增保证了取最大下标即可。
步骤 5/6
目标：由单调性推出一致收敛
由于 $f_n$ 关于 $n$ 单调递增，对任意 $n\ge N$ 和任意 $x\in[a,b]$，有 $f_n(x)\ge f_N(x)$，从而 $s(x)-f_n(x)\le s(x)-f_N(x)<\varepsilon$。因此对所有 $n\ge N$，$\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-s(x)|<\varepsilon$，即 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $s(x)$。
公式：$\forall n\ge N,\forall x\in[a,b]: |f_n(x)-s(x)| = s(x)-f_n(x) < \varepsilon$
提示：单调性保证了不等式方向一致，从而逐点估计可转化为一致估计。
步骤 6/6
目标：总结证明与条件说明
以上证明即为 Dini 定理的核心内容：在闭区间上，单调且逐点收敛到连续函数的函数列必一致收敛。若题目未明确单调性，则需补充该条件，否则结论未必成立。
公式：Dini 定理：若 $f_n$ 单调，$f_n\to s$ 逐点且 $s$ 连续，则 $f_n\rightrightarrows s$。
提示：常见反例：$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛到 $s(x)=0$（$x<1$）和 $s(1)=1$，极限不连续，故不一致收敛。
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