广西民族大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）已知 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 发散，求证级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}+1}$ 也发散。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析已知条件与目标
已知 $a_n > 0$，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$ 发散。要证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n+1}$ 也发散。由于 $a_n+1 > a_n > 0$，有 $\frac{1}{a_n+1} < \frac{1}{a_n}$，因此无法直接用比较判别法的发散方向（需要下界），需另寻方法。
公式：\frac{1}{a_n+1} < \frac{1}{a_n}
提示：注意比较判别法：要找下界证明发散，但这里通项更小，不能直接使用。
步骤 2/4
目标：考虑极限比较法
由于 $a_n > 0$，计算两个通项的比值极限：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{a_n+1}}{\frac{1}{a_n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{a_n}} = 1
$$
该极限为正有限数（等于1）。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1/(a_n+1)}{1/a_n} = 1
提示：极限为1说明通项等价，但需注意极限存在且不为0。
步骤 3/4
目标：应用正项级数比较判别法的极限形式
对于正项级数，若 $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = c$，其中 $0 < c < +\infty$，则 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 同敛散。这里取 $a_n = \frac{1}{a_n}$，$b_n = \frac{1}{a_n+1}$，极限为1，因此两级数同敛散。
公式：\text{若 } \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = c \in (0, +\infty), \text{则 } \sum a_n \text{ 与 } \sum b_n \text{ 同敛散}
提示：极限形式要求极限存在且为正有限数，这里满足。
步骤 4/4
目标：得出结论
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$ 发散，由同敛散性可知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n+1}$ 也发散。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n+1} \text{ 发散}
提示：注意：极限比较法要求通项为正，这里 $a_n>0$ 保证正项。
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