广西民族大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
九、（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件：
1）$\displaystyle \forall n, f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续且有 $\displaystyle f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x) \quad(x \in[a, b])$ ，
2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle s(x)$ ．
证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数，将问题转化为非负递减函数列的一致收敛问题
令 $g_n(x) = s(x) - f_n(x)$。由条件，每个 $f_n$ 和 $s$ 都在 $[a,b]$ 上连续，故 $g_n$ 也在 $[a,b]$ 上连续。由 $f_n(x) \leq f_{n+1}(x) \leq s(x)$ 可得 $g_n(x) \geq g_{n+1}(x) \geq 0$，且逐点有 $\lim_{n\to\infty} g_n(x) = 0$。于是原问题等价于证明：递减的非负连续函数列 $\{g_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 0。
公式：$g_n(x) = s(x) - f_n(x), \quad g_n(x) \geq g_{n+1}(x) \geq 0, \quad \lim_{n\to\infty} g_n(x) = 0$
提示：注意单调性方向：$f_n$ 递增，所以 $g_n$ 递减；非负性来自 $f_n \leq s$。
步骤 2/5
目标：反证法假设不一致收敛，构造矛盾点列
假设 $\{g_n\}$ 不一致收敛到 0，则存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $N \in \mathbb{N}$，都存在 $n > N$ 和 $x_n \in [a,b]$，满足 $g_n(x_n) \geq \varepsilon_0$。由此可选取一个子列 $\{n_k\}$ 及对应的点 $\{x_{n_k}\}$，使得 $g_{n_k}(x_{n_k}) \geq \varepsilon_0$。
公式：$\exists \varepsilon_0 > 0, \forall N, \exists n > N, \exists x_n \in [a,b]: g_n(x_n) \geq \varepsilon_0$
提示：不一致收敛的定义是存在某个正数 $\varepsilon_0$，使得对任意 $N$，总能找到 $n>N$ 和某个点破坏一致收敛性。
步骤 3/5
目标：利用闭区间上点列的聚点性质，取收敛子列
由于 $[a,b]$ 是闭区间，点列 $\{x_{n_k}\}$ 必有收敛子列。为简化记号，仍记该子列为 $\{x_{n_k}\}$，设其极限为 $x_0 \in [a,b]$。于是有 $x_{n_k} \to x_0$ 且 $g_{n_k}(x_{n_k}) \geq \varepsilon_0$。
公式：$x_{n_k} \to x_0 \in [a,b], \quad g_{n_k}(x_{n_k}) \geq \varepsilon_0$
提示：Bolzano-Weierstrass定理：有界数列必有收敛子列。这里 $[a,b]$ 是紧集，保证聚点仍在区间内。
步骤 4/5
目标：利用逐点收敛和连续性导出矛盾
由逐点收敛，$\lim_{n\to\infty} g_n(x_0) = 0$，故存在 $N_0$ 使得 $g_{N_0}(x_0) < \varepsilon_0$。由 $g_{N_0}$ 的连续性，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，$g_{N_0}(x) < \varepsilon_0$。由于 $x_{n_k} \to x_0$，当 $k$ 充分大时，$|x_{n_k} - x_0| < \delta$ 且 $n_k > N_0$。此时由 $g_n$ 的递减性，$g_{n_k}(x_{n_k}) \leq g_{N_0}(x_{n_k}) < \varepsilon_0$，这与 $g_{n_k}(x_{n_k}) \geq \varepsilon_0$ 矛盾。
公式：$g_{N_0}(x_0) < \varepsilon_0 \Rightarrow \exists \delta>0, |x-x_0|<\delta \Rightarrow g_{N_0}(x) < \varepsilon_0$；$g_{n_k}(x_{n_k}) \leq g_{N_0}(x_{n_k})$
提示：注意递减性：$n_k > N_0$ 时，$g_{n_k}(x) \leq g_{N_0}(x)$ 对每个固定的 $x$ 成立。连续性用于将 $x_0$ 处的控制延拓到邻域。
步骤 5/5
目标：得出结论
反证假设不成立，故 $\{g_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 0，即 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 $s(x)$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[a,b]} |f_n(x) - s(x)| = 0$
提示：一致收敛的定义是 $\sup$ 范数趋于 0。
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