广西民族大学 2015年数学分析第0题

要证明 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0$。当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，有 $|f(x,y)| = \left| (x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2} \right| \le x^2+y^2$。因为 $x^2+y^2\to 0$ 当 $(x,y)\to(0,0)$，由夹逼定理可知 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0$，所以函数在原点连续。

先求对 $x$ 的偏导：$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$。当 $h\neq 0$ 时，$f(h,0)=h^2 \sin\frac{1}{h^2}$，所以 $\frac{f(h,0)-0}{h} = h \sin\frac{1}{h^2} \to 0 \ (h\to 0)$，因此 $f_x(0,0)=0$。同理，$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-0}{k} = \lim_{k\to0} k\sin\frac{1}{k^2}=0$。

当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，记 $r^2=x^2+y^2$，则 $f(x,y)=r^2\sin\frac{1}{r^2}$。对 $x$ 求偏导得 $f_x(x,y)=2x\sin\frac{1}{r^2}-\frac{2x}{r^2}\cos\frac{1}{r^2}$。沿 $x$ 轴趋于原点，即 $y=0, x\to0$，此时 $r^2=x^2$，则 $f_x(x,0)=2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2}$。第一项趋于0，第二项 $\frac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2}$ 由于余弦振荡且分母趋于0，极限不存在（例如取 $x_n=1/\sqrt{2n\pi}$ 时，$\cos(2n\pi)=1$，该项趋于无穷大）。因此 $f_x$ 在原点不连续，同理 $f_y$ 也不连续。

要证明可微，即证 $\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$。代入 $f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，只需证 $\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{(h^2+k^2)\sin\frac{1}{h^2+k^2}}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0$。令 $r=\sqrt{h^2+k^2}$，则极限化为 $\lim_{r\to 0^+} \frac{r^2 \sin(1/r^2)}{r} = \lim_{r\to0^+} r \sin\frac{1}{r^2} = 0$，因为 $|r\sin(1/r^2)|\le r\to 0$，满足可微定义。